A equação do movimento de uma partícula
de massa
é dada por
onde r é o vetor posição de
em relação a uma origem
é o vetor unitário da direção de ref® é uma função da distância de
a
.
Descrever como se aplicam os resultados obtidos ao movimento dos planêtas de nosso sistema solar.
Descrever como se aplicam os resultados obtidos ao movimento dos planêtas de nosso sistema solar.
Passo 1
O enunciado dá a equação vetorial do movimento
onde
é o vetor posição da partícula
em relação à origem
,
é a distância
,
é o versor (vetor unitário) na direção de
e
é uma função que depende apenas de
.\n\nO que se pede: descrever como os resultados matemáticos obtidos a partir dessa equação se aplicam ao movimento dos planetas do Sistema Solar. \n\nInformações relevantes dadas pelo enunciado:\n- A força (ou a direita da equação) é radial: está sempre na direção de
(para dentro ou para fora).\n- O módulo da força depende apenas de
(isto é, é uma força central — só depende da distância ao centro).\n- A massa da partícula (no caso planetas) é
.\n\nNão começamos a resolver ainda; apenas identificamos o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Interpretação conveniente e notação: é mais claro trabalhar com a aceleração radial por unidade de massa. Defino a função por unidade de massa
de modo que a equação fica
Aqui
tem dimensão de aceleração (força por unidade de massa). Esta forma é a que normalmente usamos em mecânica celeste: a aceleração de um planeta depende apenas da sua distância ao Sol e é dirigida radialmente.
Passo 3
Conservação do momento angular (intuição e derivação): como a força é radial, o torque em relação à origem é nulo. Vou mostrar isso e explicar o que significa.\n\nO momento angular (vetorial) da partícula em relação a
é
onde
. Diferenciando,
Como
e
são colineares, o produto vetorial é zero, portanto
Isto significa que
é constante no tempo (conservação do momento angular).\n\nConsequências físicas imediatas:\n- O vetor
é fixo em direção e módulo: o movimento fica confinado ao plano perpendicular a
. Portanto a trajetória é plana (cada planeta descreve um plano orbitando o Sol).\n- A componente escalar relacionada à área leva ao enunciado de Kepler 2: a velocidade areal (área varrida por unidade de tempo) é constante — derivei isso com detalhes nos passos seguintes.
Passo 4
Coordenadas polares no plano do movimento e expressões de velocidade/ aceleração: agora passo a escrever as equações em coordenadas polares
(origem em
, ângulo
medido no plano do movimento). As fórmulas fundamentais são:\n
\n
\n
onde
é o versor radial e
é o versor transversal (tangencial), e ponto (
) denota derivada em relação a
.\n\nSubstituindo essa aceleração na equação
e igualando componentes radial e tangencial, obtemos duas equações escalares:\n
\n
A equação transversal representa a ausência de componente tangencial da força (força puramente radial).
Passo 5
Derivar a conservação do momento angular em forma escalar e a lei das áreas (Kepler II): da equação transversal podemos escrever\n
Defino o momento angular específico (por unidade de massa)
que é constante (pois sua derivada é zero). A constante
é o momento angular por unidade de massa; a relação com
é
(vetor perpendicular ao plano).\n\nA velocidade areal (metade do produto
) é\n
que é constante. Esta é justamente a Lei das Áreas de Kepler: o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.
Passo 6
Equação radial reduzida e energia efetiva: usando
na equação radial obtemos uma equação só para
:\n
Multiplicando ambos os lados por
e integrando uma vez (procedimento padrão para obter conservação de energia), obtemos a energia por unidade de massa conservada:\n
onde
é a energia específica (energia por unidade de massa) e o potencial efetivo é\n
Aqui
é um potencial central por unidade de massa definido (até constante) por
. A interpretação física:\n-
é o potencial radial real (por unidade de massa);\n-
é um termo centrífugo efetivo que impede que a partícula colapse para
quando
.\n\nCom essa equação unidimensional em
podemos estudar tipos de órbita (ligadas, não ligadas), pontos de equilíbrio radial (órbitas circulares) e estabilidade por análise do potencial efetivo.
Passo 7
Órbitas circulares e sua estabilidade: uma órbita circular de raio
corresponde a
e
. Da equação
segue a condição para órbita circular:\n
Isto determina a relação entre
e
(ou entre velocidade angular e raio) para que a órbita seja circular.\n\nPara testar estabilidade, olhamos a segunda derivada do potencial efetivo: se
então a órbita circular é estável (pequenas perturbações dão oscilações em torno de
); se
a órbita é instável.
Passo 8
Aplicação ao caso gravitacional (força newtoniana) — ligação com as leis de Kepler:\n\nNo Sistema Solar, a força que o Sol exerce sobre um planeta, modelada pelo problema de dois corpos (Sol fixo se
), é a força de atração newtoniana. A aceleração por unidade de massa do planeta é\n
onde
é a constante gravitacional e
é a massa do Sol (ou massa reduzida do sistema quando se trata de dois corpos tratados exatamente). O potencial correspondente por unidade de massa é\n
\n\nCom essa escolha, o potencial efetivo fica\n
A partir daqui obtêm-se resultados centrais sobre as órbitas planetárias.
Passo 9
Equação da órbita em função de
e a forma geométrica das trajetórias: é prático trocar de variável para
. Usando a conservação de momento angular
e a relação já vista entre
,
e derivadas em
, chega‑se à equação diferencial da linha orbital (derivação padrão):\n
\n\nNo caso newtoniano
, substituímos
e a equação fica muito simples:
Esta é uma equação linear de segunda ordem cuja solução geral é
onde
e
são constantes de integração (determinam a excentricidade e a orientação da órbita). Voltando a
:
Esta é a equação de uma cônica com foco no Sol: se
é uma elipse,
é uma parábola,
é uma hipérbole. Para planetas do Sistema Solar temos
, portanto órbitas elípticas — isto é exatamente a Lei de Kepler 1.
Passo 10
Derivação da Terceira Lei de Kepler (períodos): para uma elipse com semi‑eixo maior
e excentricidade
a semi‑latus rectum
satisfaz\n
Do resultado acima temos
, portanto
A área da elipse é
. Como a velocidade areal é constante e igual a
, o período
(tempo para varrer toda a área) é
Substituindo
obtemos
ou seja
Isto é a Terceira Lei de Kepler: o quadrado do período é proporcional ao cubo do semi‑eixo maior. Para planetas que orbitam o Sol,
é o mesmo (aproximando o Sol como massa dominante), então a constante de proporcionalidade é a mesma para todos — exatamente o que Kepler observou.
Passo 11
Resumo físico e limitações do modelo aplicado ao Sistema Solar (comentários práticos e hipóteses usadas):\n- O modelo central (força radial dependendo só de
) explica: órbitas planas, conservação do momento angular (lei das áreas), forma elíptica das órbitas (Kepler I) e a lei dos períodos (Kepler III) quando
.\n- As deduções acima são rigorosas no problema de dois corpos (Sol + um planeta) com interação newtoniana. Na prática, para o Sistema Solar usamos a aproximação de que cada planeta é muito menos massivo que o Sol, então o Sol pode ser tratado quase fixo e aplicam-se as fórmulas acima com
massa do Sol.\n- Efeitos reais não incluídos aqui: perturbações devido a outros planetas (levantam pequenas mudanças nas órbitas — perturbações planetárias), relatividade geral (correções pequenas mas mensuráveis, por exemplo o avanço do periélio de Mercúrio), não‑sfericidade do Sol, radiação e arrasto (muito pequenos). Esses são tratados por correções ao problema idealizado.\n\nForça prática de estudo: sabendo que a gravitação newtoniana é um caso particular de força central
, todo o arcabouço geral de forças centrais (conservação de momento angular, redução a um problema unidimensional radial, potencial efetivo, formas de órbita coníca) aplica‑se diretamente e explica as leis de Kepler observadas.
Resposta
As órbitas são planas (momento angular conservado); a velocidade areal é constante (2ª lei de Kepler); para a força newtoniana
as trajetórias são cônicas com o Sol num dos focos (elipses para planetas, 1ª lei de Kepler); e os períodos satisfazem
(3ª lei de Kepler).