A equação do movimento de uma partícula P de massa m é dada por
m \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=f(r) \mathbf{r}
onde r é o vetor posição de P em relação a uma origem 0, \mathrm{r}_{1} é o vetor unitário da direção de ref® é uma função da distância de P a O.
Mostrar que \mathbf{r} \times d \mathbf{r} / d t=\mathbf{c} onde \mathbf{c} é um vetor constante.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento
m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=f(r)\,\mathbf{r},
onde \mathbf{r}(t) é o vetor posição da partícula em relação à origem, m é a massa (constante) e f(r) é uma função escalar que depende apenas da distância r=\|\mathbf{r}\|. O que se pede é mostrar que o vetor
\mathbf{r}\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}
é igual a um vetor constante \mathbf{c}, isto é, que não depende do tempo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada temporal do vetor \mathbf{r}\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}. Para isso precisamos da regra da derivada do produto vetorial: para quaisquer vetores dependentes do tempo \mathbf{u}(t) e \mathbf{v}(t) vale
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\big)=\frac{d\mathbf{u}}{dt}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\frac{d\mathbf{v}}{dt}.
Justificativa curta: essa regra é análoga à regra do produto em escalares e pode ser verificada componente a componente (usando a definição do produto vetorial ou o tensor \varepsilon_{ijk}); não é necessário decorar um teorema complicado — basta lembrar que diferenciação é linear e o produto vetorial combina componentes de forma bilinear.

Passo 3

Aplique a regra à expressão que nos interessa, com \mathbf{u}=\mathbf{r} e \mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}. Temos
\frac{d}{dt}\left(\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}+\mathbf{r}\times\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Agora note duas coisas simples:
  1. O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é o vetor nulo, ou seja
\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{0}.
Isto decorre diretamente das propriedades do produto vetorial (direção e sentido iguais → área nula).
2. Pela equação do movimento temos
\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\frac{f(r)}{m}\,\mathbf{r},
onde \dfrac{f(r)}{m} é um escalar que pode ser puxado para fora do produto vetorial. Assim
\mathbf{r}\times\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\mathbf{r}\times\left(\frac{f(r)}{m}\mathbf{r}\right)=\frac{f(r)}{m}\,\big(\mathbf{r}\times\mathbf{r}\big)=\frac{f(r)}{m}\,\mathbf{0}=\mathbf{0},
pois \mathbf{r}\times\mathbf{r}=\mathbf{0}.

Passo 4

Substituindo as observações do Passo 3 na derivada do Passo 2 obtemos
\frac{d}{dt}\left(\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=\mathbf{0}.
Isto significa que a derivada temporal do vetor \mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}} é nula para todo t. Uma função (ou vetor) cuja derivada é zero é constante no tempo.

Passo 5

Concluímos que existe um vetor constante \mathbf{c} tal que, para todo t,
\mathbf{r}(t)\times\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}=\mathbf{c}.
Dica prática para prova: sempre que você vir uma força que é paralela a \mathbf{r} (isto é, do tipo escalar vezes \mathbf{r}), tente formar o produto vetorial \mathbf{r}\times(\text{equação}\,/m)çã — os termos colineares com \mathbf{r} desaparecem e muitas vezes você encontra uma quantidade conservada.

Resposta

\mathbf{r}\times \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{c}

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