A equação do movimento de uma partícula
de massa
é dada por
onde r é o vetor posição de
em relação a uma origem
é o vetor unitário da direção de ref® é uma função da distância de
a
.
Mostrar que
onde
é um vetor constante.
Mostrar que
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento
onde
é o vetor posição da partícula em relação à origem,
é a massa (constante) e
é uma função escalar que depende apenas da distância
. O que se pede é mostrar que o vetor
é igual a um vetor constante
, isto é, que não depende do tempo.
Passo 2
Vamos calcular a derivada temporal do vetor
. Para isso precisamos da regra da derivada do produto vetorial: para quaisquer vetores dependentes do tempo
e
vale
Justificativa curta: essa regra é análoga à regra do produto em escalares e pode ser verificada componente a componente (usando a definição do produto vetorial ou o tensor
); não é necessário decorar um teorema complicado — basta lembrar que diferenciação é linear e o produto vetorial combina componentes de forma bilinear.
Passo 3
Aplique a regra à expressão que nos interessa, com
e
. Temos
Agora note duas coisas simples:
- O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é o vetor nulo, ou seja
Isto decorre diretamente das propriedades do produto vetorial (direção e sentido iguais → área nula).
2. Pela equação do movimento temos
2. Pela equação do movimento temos
onde
é um escalar que pode ser puxado para fora do produto vetorial. Assim
pois
.
Passo 4
Substituindo as observações do Passo 3 na derivada do Passo 2 obtemos
Isto significa que a derivada temporal do vetor
é nula para todo
. Uma função (ou vetor) cuja derivada é zero é constante no tempo.
Passo 5
Concluímos que existe um vetor constante
tal que, para todo
,
Dica prática para prova: sempre que você vir uma força que é paralela a
(isto é, do tipo escalar vezes
), tente formar o produto vetorial
— os termos colineares com
desaparecem e muitas vezes você encontra uma quantidade conservada.