Problema 1.3 Duas fontes coerentes de ondas de água com frequência f estão separadas pela distância d. (a) Longe das fontes, qual é o ângulo entre as linhas nodais na água e a perpendicular à linha que une as fontes? (b) Se você introduz uma diferença de fase \varphi entre as fontes, como varia a direção das linhas nodais? (Sugestão: Para interferência destrutiva nodal longe das fontes, assuma que as frentes de onda de cada fonte sejam paralelas uma à outra e que suas amplitudes sejam iguais. Veja também o problema 1.2.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
Duas fontes coerentes de ondas de água com frequência \,f\,.
As duas fontes estão separadas pela distância \,d\,.
(No item b) é introduzida uma diferença de fase entre as fontes igual a \,\varphi\,.
Estamos interessados no campo longe das fontes (região de campo distante), onde as frentes de onda de cada fonte podem ser assumidas como aproximadamente paralelas e as amplitudes iguais (sugestão do enunciado).
O que é pedido:
(a) Longe das fontes, determinar o ângulo entre as linhas nodais na água e a perpendicular à linha que une as fontes.
(b) Se introduzirmos uma diferença de fase \,\varphi\, entre as fontes, como varia a direção (ou posição angular) das linhas nodais?
Passo 2
Primeira lição rápida: relação entre frequência e comprimento de onda. Para ondas em água (ou qualquer onda mecânica), a velocidade da onda \,v\, está relacionada com a frequência \,f\, e o comprimento de onda \,\lambda\, por:
\lambda=\frac{v}{f}.
Explico: \,f\, é quantas cristas passam por um ponto por segundo e \,v\, é a velocidade de propagação; a distância entre cristas sucessivas é \,\lambda\,. Vou usar \,\lambda\, na maioria das contas porque as condições de interferência usam \,\lambda\,.
Passo 3
Escolha de geometria e aproximação de campo distante (íntima ao enunciado).
Coloco as duas fontes ao longo do eixo x, em x=-d/2 (fonte 1) e x=+d/2 (fonte 2). A perpendicular à linha que une as fontes é o eixo y (a bissetriz entre as fontes).
Chamo \theta o ângulo entre a direção de observação (ou a linha nodal) e o eixo y. Esse é exatamente o ângulo pedido no item (a).
Em campo distante (distância R da região de observação muito maior que d), as frentes de onda que chegam ao ponto observado podem ser tratadas como quase paralelas. Nesse caso, a diferença de caminho percorrido pelas ondas das duas fontes até um ponto numa direção \theta pode ser aproximada por uma projeção da separação entre as fontes sobre a direção perpendicular às frentes.
Agora vamos derivar essa expressão de caminho diferencial de maneira um pouquinho formal mas simples:
Seja \hat{r} o versor da direção de observação. Se \theta é medido a partir do eixo y, podemos tomar
\hat{r}=(\sin\theta,\cos\theta).
As posições das fontes são \vec{r}_1=(-d/2,0) e \vec{r}_2=(d/2,0).
A distância do ponto distante (aproximado por R\hat{r}) à fonte i é |R\hat{r}-\vec{r}_i|. Para R\gg d usamos a aproximação de primeira ordem (expansão em potência de d/R):
Simplificando: a diferença de caminho entre as duas ondas na direção que forma ângulo \theta com a perpendicular vale, em campo distante,
\Delta\approx d\sin\theta.
Observação física intuitiva: é como projetar a separação d na direção perpendicular às frentes; quanto maior \theta, maior a projecção e maior a diferença de caminho.
Passo 4
Ligando caminho \Delta à fase e à condição nodal (interferência destrutiva).
Uma diferença de caminho \Delta corresponde a uma diferença de fase (devida ao trajeto) dada por
Explico: uma mudança de \lambda no caminho corresponde a 2\pi radianos de fase, então cada fração \Delta/\lambda multiplica por 2\pi.
Para duas ondas com mesmas amplitude, a interferência é destrutiva (nodo) quando a diferença de fase total entre elas for um múltiplo ímpar de \pi, isto é:
Lembre que só existem valores físicos quando o argumento de \arcsin tem módulo ≤ 1; isso limita quantos modos nodais aparecem dependendo da razão \lambda/d.
Passo 5
Agora o item (b): introduzindo uma diferença de fase inicial \varphi entre as fontes.
Se uma fonte emite com uma fase adicional \varphi em relação à outra, a diferença de fase total observada é a soma da diferença de fase devido ao caminho e dessa fase inicial:
Interpretação: a presença de \varphi equivale a um deslocamento contínuo da ordem m efetiva — por exemplo, um \varphi=\pi (meia-oscilação) move os nós de modo a trocar a condição por uma ordem fracionária.
Passo 6
Observações finais, dicas práticas para prova:
Se o enunciado der só f e não der \lambda, use \lambda=v/f e escreva
\sin\theta=\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)v}{f d}\quad\text{(sem fase extra)}
Em muitos problemas práticos toma-se m=0 para o primeiro nó mais próximo da perpendicular; então o primeiro ângulo nodal (sem fase extra) é \theta_0=\arcsin(\lambda/(2d)).
Lembre sempre de verificar a condição |\sin\theta|\le 1 para saber quantos nodos aparecem.
Se quiser aproximar pequenos deslocamentos angulares quando a mudança de \varphi é pequena, pode linearizar \sin\theta e encontrar uma expressão para \Delta\theta, mas isso não é necessário a menos que peçam aproximação pequena.