Problema 1.3 Duas fontes coerentes de ondas de água com frequência f estão separadas pela distância d. (a) Longe das fontes, qual é o ângulo entre as linhas nodais na água e a perpendicular à linha que une as fontes? (b) Se você introduz uma diferença de fase \varphi entre as fontes, como varia a direção das linhas nodais? (Sugestão: Para interferência destrutiva nodal longe das fontes, assuma que as frentes de onda de cada fonte sejam paralelas uma à outra e que suas amplitudes sejam iguais. Veja também o problema 1.2.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações dadas:
    • Duas fontes coerentes de ondas de água com frequência \,f\,.
    • As duas fontes estão separadas pela distância \,d\,.
    • (No item b) é introduzida uma diferença de fase entre as fontes igual a \,\varphi\,.
    • Estamos interessados no campo longe das fontes (região de campo distante), onde as frentes de onda de cada fonte podem ser assumidas como aproximadamente paralelas e as amplitudes iguais (sugestão do enunciado).
  • O que é pedido:
    • (a) Longe das fontes, determinar o ângulo entre as linhas nodais na água e a perpendicular à linha que une as fontes.
    • (b) Se introduzirmos uma diferença de fase \,\varphi\, entre as fontes, como varia a direção (ou posição angular) das linhas nodais?

Passo 2

Primeira lição rápida: relação entre frequência e comprimento de onda. Para ondas em água (ou qualquer onda mecânica), a velocidade da onda \,v\, está relacionada com a frequência \,f\, e o comprimento de onda \,\lambda\, por:
\lambda=\frac{v}{f}.
Explico: \,f\, é quantas cristas passam por um ponto por segundo e \,v\, é a velocidade de propagação; a distância entre cristas sucessivas é \,\lambda\,. Vou usar \,\lambda\, na maioria das contas porque as condições de interferência usam \,\lambda\,.

Passo 3

Escolha de geometria e aproximação de campo distante (íntima ao enunciado).
  • Coloco as duas fontes ao longo do eixo x, em x=-d/2 (fonte 1) e x=+d/2 (fonte 2). A perpendicular à linha que une as fontes é o eixo y (a bissetriz entre as fontes).
  • Chamo \theta o ângulo entre a direção de observação (ou a linha nodal) e o eixo y. Esse é exatamente o ângulo pedido no item (a).
  • Em campo distante (distância R da região de observação muito maior que d), as frentes de onda que chegam ao ponto observado podem ser tratadas como quase paralelas. Nesse caso, a diferença de caminho percorrido pelas ondas das duas fontes até um ponto numa direção \theta pode ser aproximada por uma projeção da separação entre as fontes sobre a direção perpendicular às frentes.
Agora vamos derivar essa expressão de caminho diferencial de maneira um pouquinho formal mas simples:
  • Seja \hat{r} o versor da direção de observação. Se \theta é medido a partir do eixo y, podemos tomar
\hat{r}=(\sin\theta,\cos\theta).
  • As posições das fontes são \vec{r}_1=(-d/2,0) e \vec{r}_2=(d/2,0).
  • A distância do ponto distante (aproximado por R\hat{r}) à fonte i é |R\hat{r}-\vec{r}_i|. Para R\gg d usamos a aproximação de primeira ordem (expansão em potência de d/R):
|R\hat{r}-\vec{r}_i|\approx R-\vec{r}_i\cdot\hat{r}.
  • Portanto a diferença de caminhos (dois para um ponto a mesma direção) fica
\Delta=r_2-r_1\approx -\vec{r}_2\cdot\hat{r}+ \vec{r}_1\cdot\hat{r}.
Substituindo \vec{r}_1 e \vec{r}_2 obtemos
\Delta\approx \left(-\frac{d}{2}\sin\theta\right)-\left(+\frac{d}{2}\sin\theta\right)\times(-1)=d\sin\theta.
Simplificando: a diferença de caminho entre as duas ondas na direção que forma ângulo \theta com a perpendicular vale, em campo distante,
\Delta\approx d\sin\theta.
Observação física intuitiva: é como projetar a separação d na direção perpendicular às frentes; quanto maior \theta, maior a projecção e maior a diferença de caminho.

Passo 4

Ligando caminho \Delta à fase e à condição nodal (interferência destrutiva).
  • Uma diferença de caminho \Delta corresponde a uma diferença de fase (devida ao trajeto) dada por
\Delta\varphi_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta.
Explico: uma mudança de \lambda no caminho corresponde a 2\pi radianos de fase, então cada fração \Delta/\lambda multiplica por 2\pi.
  • Para duas ondas com mesmas amplitude, a interferência é destrutiva (nodo) quando a diferença de fase total entre elas for um múltiplo ímpar de \pi, isto é:
\Delta\varphi_{\text{total}}=(2m+1)\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
  • No caso sem diferença inicial de fase entre as fontes (item a), a diferença total de fase é apenas a de caminho:
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta=(2m+1)\pi.
  • Substituindo \Delta\approx d\sin\theta obtemos
\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta=(2m+1)\pi.
  • Cancelando \pi e resolvendo para \sin\theta:
\sin\theta=\frac{(2m+1)}{2}\frac{\lambda}{d}=\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda}{d}.
Portanto, os ângulos nodais (em campo distante) são dados por
\theta_m=\arcsin\!\left(\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda}{d}\right),\qquad m=0,\,1,\,2,\dots
Lembre que só existem valores físicos quando o argumento de \arcsin tem módulo ≤ 1; isso limita quantos modos nodais aparecem dependendo da razão \lambda/d.

Passo 5

Agora o item (b): introduzindo uma diferença de fase inicial \varphi entre as fontes.
  • Se uma fonte emite com uma fase adicional \varphi em relação à outra, a diferença de fase total observada é a soma da diferença de fase devido ao caminho e dessa fase inicial:
\Delta\varphi_{\text{total}}=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta+\varphi.
  • A condição de destruição (nodo) continua sendo \Delta\varphi_{\text{total}}=(2m+1)\pi. Assim:
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta+\varphi=(2m+1)\pi.
  • Resolvendo para \Delta:
\Delta=\left(\frac{(2m+1)\pi-\varphi}{2\pi}\right)\lambda=\left(m+\tfrac{1}{2}-\frac{\varphi}{2\pi}\right)\lambda.
  • Usando a aproximação de campo distante \Delta\approx d\sin\theta obtemos a condição angular:
\sin\theta=\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}-\dfrac{\varphi}{2\pi}\right)\lambda}{d}.
Logo, com diferença de fase \varphi entre as fontes as linhas nodais deslocam-se angularmente e os ângulos nodais passam a ser
\theta_m=\arcsin\!\left(\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}-\dfrac{\varphi}{2\pi}\right)\lambda}{d}\right).
Interpretação: a presença de \varphi equivale a um deslocamento contínuo da ordem m efetiva — por exemplo, um \varphi=\pi (meia-oscilação) move os nós de modo a trocar a condição por uma ordem fracionária.

Passo 6

Observações finais, dicas práticas para prova:
  • Se o enunciado der só f e não der \lambda, use \lambda=v/f e escreva
\sin\theta=\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)v}{f d}\quad\text{(sem fase extra)}
ou com \varphi
\sin\theta=\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}-\dfrac{\varphi}{2\pi}\right)v}{f d}.
  • Em muitos problemas práticos toma-se m=0 para o primeiro nó mais próximo da perpendicular; então o primeiro ângulo nodal (sem fase extra) é \theta_0=\arcsin(\lambda/(2d)).
  • Lembre sempre de verificar a condição |\sin\theta|\le 1 para saber quantos nodos aparecem.
  • Se quiser aproximar pequenos deslocamentos angulares quando a mudança de \varphi é pequena, pode linearizar \sin\theta e encontrar uma expressão para \Delta\theta, mas isso não é necessário a menos que peçam aproximação pequena.

Resposta

(a) \displaystyle \theta_m=\arcsin\!\left(\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda}{d}\right),\quad m=0,1,2,\dots
(b) \displaystyle \theta_m=\arcsin\!\left(\frac{\left(m+\tfrac{1}{2}-\dfrac{\varphi}{2\pi}\right)\lambda}{d}\right),\quad m=0,1,2,\dots

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