QUESTÃO 02 - Um corpo move-se em movimento retilíneo. A posição do corpo em função do tempo é dada pela equação
, em que
está em metros e
está em segundos.
Determine:
a) a expressão geral da velocidade em função do tempo;
b) a expressão geral da aceleração em função do tempo;
c) Calcule a velocidade instantânea pata
d) Calcule a aceleração instantânea para
e) Calcule a velocidade média entre os instantes de tempo
e
.
f) Calcule a aceleração média entre os instantes de tempo
e
2 s .
g) Para quais instantes de tempo a aceleração é nula?
a) a expressão geral da velocidade em função do tempo;
b) a expressão geral da aceleração em função do tempo;
c) Calcule a velocidade instantânea pata
d) Calcule a aceleração instantânea para
e) Calcule a velocidade média entre os instantes de tempo
f) Calcule a aceleração média entre os instantes de tempo
g) Para quais instantes de tempo a aceleração é nula?
Passo 1
O enunciado diz que a posição do corpo, em metros, em função do tempo, em segundos, é
As perguntas são:
a) Determinar a expressão geral da velocidade .
b) Determinar a expressão geral da aceleração .
c) Calcular a velocidade instantânea em .
d) Calcular a aceleração instantânea em .
e) Calcular a velocidade média entre e
.
f) Calcular a aceleração média entre e
.
g) Determinar para quais instantes a aceleração é nula.
a) Determinar a expressão geral da velocidade
b) Determinar a expressão geral da aceleração
c) Calcular a velocidade instantânea em
d) Calcular a aceleração instantânea em
e) Calcular a velocidade média entre
f) Calcular a aceleração média entre
g) Determinar para quais instantes
Informações relevantes dadas: a expressão de
acima; as grandezas pedidas (velocidade e aceleração, instantâneas e médias) são as usuais para movimento retilíneo (velocidade = derivada de posição, aceleração = derivada da velocidade).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para achar a velocidade: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, se
é uma função de
, então
Regra prática usada (regra do poder / power rule): para
temos
. Aplicamos essa regra termo a termo em um polinômio.
Agora derivamos cada termo de
:
-
porque constante tem derivada zero. -
(porque dá ). -
. -
.
Somando os resultados:
Passo 3
Conceito e fórmula que vamos usar para achar a aceleração: a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
Aplicamos de novo a regra do poder termo a termo na expressão encontrada para
.
Derivando
:
-
. -
. -
.
Somando:
Podemos fatorar para ficar mais bonito e facilitar a resolução de zeros:
Passo 4
Calcular a velocidade instantânea em
. Pegamos a fórmula de
(do Passo 2) e substituímos
.
Começo calculando termo a termo:
Agora os potências:
e
. Substituindo:
Calcule cada produto:
e
. Então
Faça a soma:
;
. Portanto
Passo 5
Calcular a aceleração instantânea em
. Usamos a fórmula de
(do Passo 3) e substituímos
.
Usando a forma fatorada:
Calcule:
, então
Portanto
Passo 6
Calcular a velocidade média entre
e
. Definição: velocidade média é deslocamento dividido pelo intervalo de tempo,
Aqui
e
. Precisamos de
e
.
Calcule
substituindo
em
:
Calcule
substituindo
:
Compute os termos:
,
então
,
. Somando:
Agora a velocidade média:
Passo 7
Calcular a aceleração média entre
e
. Definição: aceleração média é variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo,
Já temos
(Passo 4). Calcule
usando
:
Assim
Passo 8
Para quais instantes a aceleração é nula? Usamos a expressão fatorada do Passo 3:
A aceleração é zero quando
. Como
é diferente de zero, basta resolver
As soluções são
ou
. Interpretando fisicamente, ambos são instantes válidos (se o domínio do problema inclui
). Portanto a aceleração é nula em
e
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) para
e
b)
c)
d)
e)
f)
g)