QUESTÃO 02 - Um corpo move-se em movimento retilíneo. A posição do corpo em função do tempo é dada pela equação x(t)= 20+6 t-2 t^{3}+t^{4}, em que x está em metros e t está em segundos.
Determine:
a) a expressão geral da velocidade em função do tempo;
b) a expressão geral da aceleração em função do tempo;
c) Calcule a velocidade instantânea pata \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}
d) Calcule a aceleração instantânea para \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}
e) Calcule a velocidade média entre os instantes de tempo t=0 e t =2 \mathrm{~s}.
f) Calcule a aceleração média entre os instantes de tempo t=0 e t= 2 s .
g) Para quais instantes de tempo a aceleração é nula?

Passo 1

O enunciado diz que a posição do corpo, em metros, em função do tempo, em segundos, é
x(t)=20+6t-2t^{3}+t^{4}.
As perguntas são:
a) Determinar a expressão geral da velocidade v(t).
b) Determinar a expressão geral da aceleração a(t).
c) Calcular a velocidade instantânea em t=2\\ \mathrm{s}.
d) Calcular a aceleração instantânea em t=2\\ \mathrm{s}.
e) Calcular a velocidade média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
f) Calcular a aceleração média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
g) Determinar para quais instantes t a aceleração é nula.
Informações relevantes dadas: a expressão de x(t) acima; as grandezas pedidas (velocidade e aceleração, instantâneas e médias) são as usuais para movimento retilíneo (velocidade = derivada de posição, aceleração = derivada da velocidade).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para achar a velocidade: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, se x(t) é uma função de t, então
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Regra prática usada (regra do poder / power rule): para \displaystyle t^{n} temos \displaystyle \frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Aplicamos essa regra termo a termo em um polinômio.
Agora derivamos cada termo de x(t)=20+6t-2t^{3}+t^{4}:
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(20)=0 porque constante tem derivada zero.
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(6t)=6 (porque n=1 1\cdot t^{0}=1).
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(-2t^{3})=-2\cdot 3 t^{2}=-6t^{2}.
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(t^{4})=4t^{3}.
Somando os resultados:
v(t)=6-6t^{2}+4t^{3}.

Passo 3

Conceito e fórmula que vamos usar para achar a aceleração: a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Aplicamos de novo a regra do poder termo a termo na expressão encontrada para v(t).
Derivando v(t)=6-6t^{2}+4t^{3}:
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(6)=0.
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(-6t^{2})=-6\cdot 2 t=-12t.
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(4t^{3})=4\cdot 3 t^{2}=12t^{2}.
Somando:
a(t)=-12t+12t^{2}.
Podemos fatorar para ficar mais bonito e facilitar a resolução de zeros:
a(t)=12t(t-1).

Passo 4

Calcular a velocidade instantânea em t=2\\ \mathrm{s}. Pegamos a fórmula de v(t) (do Passo 2) e substituímos t=2.
Começo calculando termo a termo:
v(2)=6-6\cdot(2)^{2}+4\cdot(2)^{3}.
Agora os potências: (2)^{2}=4 e (2)^{3}=8. Substituindo:
v(2)=6-6\cdot 4 +4\cdot 8.
Calcule cada produto: 6\cdot 4=24 e 4\cdot 8=32. Então
v(2)=6-24+32.
Faça a soma: 6-24=-18; -18+32=14. Portanto
v(2)=14\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a aceleração instantânea em t=2\\ \mathrm{s}. Usamos a fórmula de a(t) (do Passo 3) e substituímos t=2.
Usando a forma fatorada:
a(2)=12\cdot 2\cdot(2-1).
Calcule: 2-1=1, então
a(2)=12\cdot 2\cdot 1=24.
Portanto
a(2)=24\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Calcular a velocidade média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}. Definição: velocidade média é deslocamento dividido pelo intervalo de tempo,
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=0 e t_{2}=2. Precisamos de x(0) e x(2).
Calcule x(0) substituindo t=0 em x(t):
x(0)=20+6\cdot 0 -2\cdot 0^{3}+0^{4}=20.
Calcule x(2) substituindo t=2:
x(2)=20+6\cdot 2 -2\cdot 2^{3}+2^{4}.
Compute os termos: 6\cdot 2=12, 2^{3}=8 então -2\cdot 8=-16, 2^{4}=16. Somando:
x(2)=20+12-16+16=32.
Agora a velocidade média:
\bar{v}=\frac{x(2)-x(0)}{2-0}=\frac{32-20}{2}=\frac{12}{2}=6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a aceleração média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}. Definição: aceleração média é variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo,
\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Já temos v(2)=14 (Passo 4). Calcule v(0) usando v(t)=6-6t^{2}+4t^{3}:
v(0)=6-6\cdot 0^{2}+4\cdot 0^{3}=6.
Assim
\bar{a}=\frac{14-6}{2}=\frac{8}{2}=4\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Para quais instantes a aceleração é nula? Usamos a expressão fatorada do Passo 3:
a(t)=12t(t-1).
A aceleração é zero quando a(t)=0. Como 12 é diferente de zero, basta resolver
t(t-1)=0.
As soluções são t=0 ou t=1. Interpretando fisicamente, ambos são instantes válidos (se o domínio do problema inclui t\ge 0). Portanto a aceleração é nula em t=0\\ \mathrm{s} e t=1\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) \;v(t)=6-6t^{2}+4t^{3}.
b) \;a(t)=-12t+12t^{2}=12t(t-1).
c) \;v(2)=14\\ \mathrm{m/s}.
d) \;a(2)=24\\ \mathrm{m/s^{2}}.
e) \;\bar{v}_{0\to2}=6\\ \mathrm{m/s}.
f) \;\bar{a}_{0\to2}=4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
g) \;a(t)=0 para t=0\\ \mathrm{s} e t=1\\ \mathrm{s}.

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