(2.0) Em circuito RCL em série, a indutância é igual a 5,0 mH, o período é 2 pi / 500 s, e resistência 3.0 Omega.
a) Qual a frequência de ressonância para esse oscilador?
b) Qual a capacitância desse circuito?
c) Quanto decresce a amplitude de corrente após uma oscilação completa? (deixe a resposta indicada)

Passo 1

O enunciado trata de um circuito RCL série com indutância L=5,0,mH, resistência R=3,0,Omega e período de oscilação experimental T=2pi/500 s. Vamos usar as fórmulas da oscilação livre pouco amortecida:
– A frequência angular de ressonância é omega0=1/raizLC.
– A frequência de ressonância em hertz é f0=omega0/(2pi).
– O período ideal sem amortecimento satisfaz T=2piraizLC.
– A amplitude decai segundo
I(t)=I0,expl(-tfracR2Ltr),
logo, após um período T, a razão de amplitudes é exp(-RT/(2L)).

Passo 2

Para achar a frequência de ressonância calculamos primeiro a frequência angular associada ao período dado:
omega0=2piT=2pi2pi/500=500 rad/s
Daí
f0=omega02pi =5002pi Hz approx 79,6 Hz

Passo 3

Para obter a capacitância usamos
T=2piraizL,CLongrightarrow raizL,C=T2pi=1500 Longrightarrow C=1500^2,L
Substituindo L=5,0times10^-3,H
C=1500^2times5,0times10^-3 =1250000times5,0times10^-3 =8,0times10^-4,F

Passo 4

O decaimento da amplitude numa oscilação completa é
I(T)I0 =expl(-R2L,Tr) =expl(-3,02times5,0times10^-3times2pi500r)
Se quisermos valor numérico, o expoente é
-3,00,01times2pi500 =-300times2pi500 =-600pi500 approx -3,77,
logo
I(T)I0approx e^-3,77approx2,3times10^-2

Resposta

a) f0=dfrac5002piapprox79,6 Hz
b) C=8,0times10^-4 F
c) A amplitude decresce por um fator
expl(-tfracR,T2Lr) =expl(-tfrac3,02times5,0times10^-3times2pi500r) approx2,3times10^-2

Exercícios relacionados