A Equação da Onda em uma dimensão espacial é dada pela expressão
onde a solução
é uma função da posição
e do tempo
. Verifique se as seguintes funções são soluções da Equação da Onda:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a Equação da Onda unidimensional, cujo conteúdo principal são derivadas parciais de segunda ordem e a combinação
.
Passo 2
Vamos calcular primeiro as derivadas parciais em relação a
: começamos com
$$
u(x,t)=x^4 - x t^2 + 9t^3$$
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na Equação da Onda:
$$
u_{tt}-c2u_{xx}=(-2x+54t)-c2(12x2)=-2x+54t-12c2x^2$$
Este resultado não é zero para valores gerais de e
, logo a equação não se anula identicamente.
Este resultado não é zero para valores gerais de
Passo 5
Como o termo
não é nulo para todos
(a menos de escolhas degeneradas de
), concluímos que
não satisfaz a Equação da Onda.
Resposta
A função não é solução da Equação da Onda, pois
.