A Equação da Onda em uma dimensão espacial é dada pela expressão
ut t-c^2 ux x=0,
onde a solução u(x, t) é uma função da posição x e do tempo t. Verifique se as seguintes funções são soluções da Equação da Onda:
u(x, t)=x^4-x t^2+9 t^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,t)=x^4 - x t^2 + 9t^3 satisfaz a Equação da Onda unidimensional, cujo conteúdo principal são derivadas parciais de segunda ordem e a combinação utt-c^2uxx=0.

Passo 2

Vamos calcular primeiro as derivadas parciais em relação a t: começamos com
$$
u(x,t)=x^4 - x t^2 + 9t^3$$
u(x,t)=x^4 - x t^2 + 9t^3
partial upartial t=ut=-2xt + 27t^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a x:
partial upartial x=ux=4x^3 - t^2
partial^2 upartial x^2=uxx=12x^2

Passo 4

Substituímos utt e uxx na Equação da Onda:
$$
u_{tt}-c2u_{xx}=(-2x+54t)-c2(12x2)=-2x+54t-12c2x^2$$
Este resultado não é zero para valores gerais de utt-c^2uxx=(-2x+54t)-c^2(12x^2)=-2x+54t-12c^2x^2 e x,t, logo a equação não se anula identicamente.

Passo 5

Como o termo -2x+54t-12c^2x^2 não é nulo para todos x,t (a menos de escolhas degeneradas de c), concluímos que u(x,t) não satisfaz a Equação da Onda.

Resposta

A função não é solução da Equação da Onda, pois utt-c^2uxx=-2x+54t-12c^2x^2neq0.

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