A equação da onda relaciona as derivadas parciais
com suas derivadas temporais. Essa equação é escrita como:
Dentre as funções apresentadas, assinale aquela que não satisfaz a equação da onda. Considere A e K constantes e
a)
b)
c)
d)
Dentre as funções apresentadas, assinale aquela que não satisfaz a equação da onda. Considere A e K constantes e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da onda
e apresenta quatro funções candidatas, pedindo para assinalar qual NÃO satisfaz essa equação. As funções são (usei
para o número de onda e
para a frequência angular):
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
.
O objetivo é verificar, para cada função, se vale a igualdade da equação da onda. Todas as constantes (
) são constantes no problema. Não foi dada explicitamente relação entre
,
e
, então a checagem deve mostrar qual condição é necessária para que cada função seja solução.
Passo 2
Estratégia e ferramentas básicas (aulas rápidas):
- A equação da onda é linear: se
e satisfazem, então também satisfaz. Isso chama-se princípio da superposição. - Para funções da forma
aplicamos a regra da cadeia. Exemplificando: se com , então e De modo análogo, derivando em relação a , - Regra semelhante vale para
e para a exponencial complexa: derivando duas vezes em dá e duas vezes em dá . - Portanto, para funções harmônicas simples da forma
a equação da onda se reduz à condição numérica Essa condição é a chamada relação de dispersão para a onda não-dispersiva (velocidade ) — é a condição necessária e suficiente para que essas funções satisfaçam a equação da onda.
Passo 3
Verificação da opção (a):
.
Calcule as segundas derivadas usando regra da cadeia:
Substituindo na equação da onda obtém-se
Se
não for identicamente zero, podemos cancelar esse fator e obter a condição
Portanto (a) satisfaz a equação da onda desde que
.
Passo 4
Verificação da opção (b):
.
Segundas derivadas:
Inserindo na equação da onda:
Cancelando
(assumindo função não nula),
Logo (b) também satisfaz a equação da onda sob a mesma condição
.
Passo 5
Verificação da opção (c):
.
Derivando duas vezes:
Substituindo:
leva novamente a
Observação didática: embora
seja complexa, a equação diferencial é linear com coeficientes reais, então funções complexas da forma exponencial complexa são soluções formais; a solução física real é a parte real (ou imaginária) da exponencial. De resto, (c) satisfaz a equação da onda com a mesma condição.
Passo 6
Verificação da opção (d):
.
Pela linearidade da equação da onda, se cada parcela (
e
) for solução (para a mesma relação
), então a soma também é solução. Já verificamos em (b) e (a) que cada parcela satisfaz a equação quando
. Portanto (d) também satisfaz a equação da onda sob a mesma condição.
Passo 7
Interpretação final e conclusão didática:
- Todas as quatro funções têm a forma típica
(ou soma dessas formas), e a verificação mostrou que a equação da onda reduz-se à condição numérica . - Assim, nenhuma das opções é intrinsecamente incompatível com a equação da onda: cada uma satisfaz a equação desde que
, e obedeçam a relação de dispersão . - Se, por outro lado,
e fossem valores arbitrários sem essa relação, então nenhuma seria solução; mas o contexto físico usual define e ligados por (ou ).
Resposta
Nenhuma — todas as opções (a), (b), (c) e (d) satisfazem a equação da onda, desde que
.