A equação da onda relaciona as derivadas parciais y(x, t) com suas derivadas temporais. Essa equação é escrita como:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
Dentre as funções apresentadas, assinale aquela que não satisfaz a equação da onda. Considere A e K constantes e \mathrm{i}=\sqrt{-1}
a) y(x, t)=\cos (k x+\omega t)
b) y(x, t)=A \operatorname{sen}(k x-\omega t)
c) y(x, t)=A e^{i(k x-\omega t)}
d) y(x, t)=A \operatorname{sen}(k x-\omega t)+A \cos (k x+\omega t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
e apresenta quatro funções candidatas, pedindo para assinalar qual NÃO satisfaz essa equação. As funções são (usei k para o número de onda e \omega para a frequência angular):
  • (a) y(x,t)=\cos\big(kx+\omega t\big).
  • (b) y(x,t)=A\sin\big(kx-\omega t\big).
  • (c) y(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)}.
  • (d) y(x,t)=A\sin\big(kx-\omega t\big)+A\cos\big(kx+\omega t\big).
O objetivo é verificar, para cada função, se vale a igualdade da equação da onda. Todas as constantes ( A,k,\omega,v) são constantes no problema. Não foi dada explicitamente relação entre k, \omega e v, então a checagem deve mostrar qual condição é necessária para que cada função seja solução.

Passo 2

Estratégia e ferramentas básicas (aulas rápidas):
  • A equação da onda é linear: se y_1 e y_2 satisfazem, então y_1+y_2 também satisfaz. Isso chama-se princípio da superposição.
  • Para funções da forma f(kx\pm\omega t) aplicamos a regra da cadeia. Exemplificando: se y=\cos\big(\theta(x,t)\big) com \theta=kx+\omega t, então \frac{\partial y}{\partial x}=-\sin(\theta)\frac{\partial\theta}{\partial x}=-k\sin(\theta),e \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-k^{2}\cos(\theta).De modo análogo, derivando em relação a t, \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}\cos(\theta).
  • Regra semelhante vale para \sin e para a exponencial complexa: derivando e^{i\theta} duas vezes em x -k^{2}e^{i\theta} e duas vezes em t -\omega^{2}e^{i\theta}.
  • Portanto, para funções harmônicas simples da forma F(kx\pm\omega t) a equação da onda se reduz à condição numérica -k^{2}F = \frac{1}{v^{2}}(-\omega^{2}F)\quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=v^{2}k^{2}.Essa condição \omega^{2}=v^{2}k^{2} é a chamada relação de dispersão para a onda não-dispersiva (velocidade v) — é a condição necessária e suficiente para que essas funções satisfaçam a equação da onda.

Passo 3

Verificação da opção (a): y=\cos(kx+\omega t).
Calcule as segundas derivadas usando regra da cadeia:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-k^{2}\cos(kx+\omega t),
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}\cos(kx+\omega t).
Substituindo na equação da onda obtém-se
-k^{2}\cos(kx+\omega t)=\frac{1}{v^{2}}\big(-\omega^{2}\cos(kx+\omega t)\big).
Se \cos(kx+\omega t) não for identicamente zero, podemos cancelar esse fator e obter a condição
\omega^{2}=v^{2}k^{2}.
Portanto (a) satisfaz a equação da onda desde que \omega^{2}=v^{2}k^{2}.

Passo 4

Verificação da opção (b): y=A\sin(kx-\omega t).
Segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-Ak^{2}\sin(kx-\omega t),
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-A\omega^{2}\sin(kx-\omega t).
Inserindo na equação da onda:
-Ak^{2}\sin(\dots)=\frac{1}{v^{2}}\big(-A\omega^{2}\sin(\dots)\big).
Cancelando A\sin(\dots) (assumindo função não nula),
\omega^{2}=v^{2}k^{2}.
Logo (b) também satisfaz a equação da onda sob a mesma condição \omega^{2}=v^{2}k^{2}.

Passo 5

Verificação da opção (c): y=A e^{i(kx-\omega t)}.
Derivando duas vezes:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-Ak^{2}e^{i(kx-\omega t)},
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-A\omega^{2}e^{i(kx-\omega t)}.
Substituindo:
-Ak^{2}e^{i(\dots)}=\frac{1}{v^{2}}\big(-A\omega^{2}e^{i(\dots)}\big)
leva novamente a
\omega^{2}=v^{2}k^{2}.
Observação didática: embora y seja complexa, a equação diferencial é linear com coeficientes reais, então funções complexas da forma exponencial complexa são soluções formais; a solução física real é a parte real (ou imaginária) da exponencial. De resto, (c) satisfaz a equação da onda com a mesma condição.

Passo 6

Verificação da opção (d): y=A\sin(kx-\omega t)+A\cos(kx+\omega t).
Pela linearidade da equação da onda, se cada parcela ( A\sin(kx-\omega t) e A\cos(kx+\omega t)) for solução (para a mesma relação \omega^{2}=v^{2}k^{2}), então a soma também é solução. Já verificamos em (b) e (a) que cada parcela satisfaz a equação quando \omega^{2}=v^{2}k^{2}. Portanto (d) também satisfaz a equação da onda sob a mesma condição.

Passo 7

Interpretação final e conclusão didática:
  • Todas as quatro funções têm a forma típica F(kx\pm\omega t) (ou soma dessas formas), e a verificação mostrou que a equação da onda reduz-se à condição numérica \omega^{2}=v^{2}k^{2}.
  • Assim, nenhuma das opções é intrinsecamente incompatível com a equação da onda: cada uma satisfaz a equação desde que k, \omega e v obedeçam a relação de dispersão \omega^{2}=v^{2}k^{2}.
  • Se, por outro lado, k e \omega fossem valores arbitrários sem essa relação, então nenhuma seria solução; mas o contexto físico usual define k e \omega ligados por \omega=vk (ou \omega^{2}=v^{2}k^{2}).

Resposta

Nenhuma — todas as opções (a), (b), (c) e (d) satisfazem a equação da onda, desde que \omega^{2}=v^{2}k^{2}.

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