Emum laboratório de materiais, um pequeno objeto é colocado para flutuar em um recipiente contendo mercúrio. Observa-se que apenas 1/8 do volume do objeto fica submerso nesse líquido. Em seguida, adiciona-se cuidadosamente querosene ao recipiente até que o objeto fique totalmente coberto, passando a flutuar na interface entre os dois líquidos, que são imiscíveis.
Considere:
densidade do mercúrio: d_{\mathrm{Hg}}=13,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}; densidade do querosene: d_{\text {querosene }}=0,74 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
Determine a porcentagem do volume do objeto que permanece submersa no mercúrio após a adição do querosene.
a) 5,5 \%.
b) 7,5 \%.
c) 10 \%.
d) 12,5 \%.
e) 20 \%.

Passo 1

O enunciado dá um objeto que flutua primeiro em mercúrio e depois fica coberto por querosene, passando a flutuar na interface entre os dois líquidos. Pergunta-se qual a porcentagem do volume do objeto que fica submersa no mercúrio depois da adição do querosene.
Informações fornecidas:
  • Fração do volume submerso no mercúrio antes de pôr o querosene: \tfrac{1}{8} do volume do objeto.
  • Densidade do mercúrio: d_{\mathrm{Hg}} = 13,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Densidade do querosene: d_{\text{querosene}} = 0,74\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
O que é pedido:
  • Determinar a porcentagem do volume do objeto que permanece submersa no mercúrio após a adição do querosene.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicado passo a passo): princípio de Arquimedes.
  • Enunciado do princípio: um corpo imerso em um fluido sofre uma força para cima (empuxo) igual ao peso do volume do fluido deslocado.
  • Em fórmulas: se um volume V_{\text{desloc}} de fluido com densidade \rho é deslocado, o empuxo vale \rho\,g\,V_{\text{desloc}}, onde g é a aceleração da gravidade.
  • Equilíbrio de um objeto flutuante: empuxo total = peso do objeto. Se o objeto tem densidade \rho_{\text{o}} e volume total V, seu peso é \rho_{\text{o}}\,g\,V.
  • No caso de dois fluidos imiscíveis (mercúrio em baixo e querosene em cima) e o objeto imerso em ambos, o empuxo total é a soma dos empuxos de cada fluido deslocado:
\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,V_{\mathrm{Hg}}+\rho_{\text{quer}}\,g\,V_{\text{quer}}=\rho_{\text{o}}\,g\,V,
onde V_{\mathrm{Hg}} é o volume do objeto que está no mercúrio e V_{\text{quer}} o volume que está no querosene. Aqui V_{\mathrm{Hg}}+V_{\text{quer}}=V quando o objeto fica totalmente coberto (totalmente submerso nos líquidos).

Passo 3

Usar a situação inicial (apenas mercúrio, sem querosene) para encontrar a densidade do objeto \rho_{\text{o}}.
  • Na situação inicial somente o mercúrio produz empuxo, e foi observado que apenas \tfrac{1}{8} do volume do objeto fica submerso. Então V_{\text{sub}}=\tfrac{1}{8}V.
  • Equilíbrio (empuxo = peso):
\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,\left(\tfrac{1}{8}V\right)=\rho_{\text{o}}\,g\,V.
  • Cancelando g e V dos dois lados e isolando \rho_{\text{o}}:
\rho_{\text{o}}=\rho_{\mathrm{Hg}}\cdot\tfrac{1}{8}.
  • Substituindo a densidade do mercúrio (peguei este valor do enunciado):
\rho_{\text{o}}=\frac{13,6}{8}=1,7\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Explicação prática: o objeto é bem denso (mais denso que querosene, menos denso que mercúrio), e como só 1/8 do volume basta para equilibrar o peso com o empuxo do mercúrio, sua densidade é \tfrac{1}{8} da densidade do mercúrio.

Passo 4

Passar para a situação com os dois líquidos (objeto totalmente coberto e flutuando na interface). Definir variável procurada.
  • Defina x como a fração do volume do objeto submersa no mercúrio:
x=\frac{V_{\mathrm{Hg}}}{V}.
  • Como o objeto fica totalmente coberto, o volume no querosene é V_{\text{quer}}=V-V_{\mathrm{Hg}}=(1-x)V.
  • Escrevendo o equilíbrio de empuxo (cancelando g e dividindo por V):
\rho_{\mathrm{Hg}}\,x+\rho_{\text{quer}}\,(1-x)=\rho_{\text{o}}.

Passo 5

Isolar x na equação do passo anterior (resolução algébrica explicada):
  • Expandindo:
\rho_{\mathrm{Hg}}\,x+\rho_{\text{quer}}-\rho_{\text{quer}}\,x=\rho_{\text{o}}.
  • Agrupando os termos com x:
x(\rho_{\mathrm{Hg}}-\rho_{\text{quer}})=\rho_{\text{o}}-\rho_{\text{quer}}.
  • Isolando x:
x=\frac{\rho_{\text{o}}-\rho_{\text{quer}}}{\rho_{\mathrm{Hg}}-\rho_{\text{quer}}}.
Comentário didático: essa fórmula faz sentido fisicamente — quanto mais denso for o líquido de cima ( \rho_{\text{quer}} aumentando), menor diferença no denominador e maior a fração x necessária no líquido mais denso para compensar, etc.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular x passo a passo (usar as densidades do enunciado e o \rho_{\text{o}} encontrado).
  • Peguei do enunciado: \rho_{\mathrm{Hg}}=13,6 e \rho_{\text{quer}}=0,74. Do passo 3 obtivemos \rho_{\text{o}}=1,7.
  • Calcule o numerador:
\rho_{\text{o}}-\rho_{\text{quer}}=1,7-0,74=0,96.
  • Calcule o denominador:
\rho_{\mathrm{Hg}}-\rho_{\text{quer}}=13,6-0,74=12,86.
  • Dividindo:
x=\frac{0,96}{12,86}\approx0,0747\\ \text{(fração do volume)}.çã
  • Converter para porcentagem: multiplicar por 100:
100\cdot x\approx 100\cdot0,0747\approx7,47\%.
Arredondando conforme as opções do enunciado, isso corresponde a 7,5\%.

Passo 7

Interpretação final e escolha da alternativa:
  • A porcentagem do volume do objeto que permanece submersa no mercúrio após a adição do querosene é aproximadamente 7,5\%.
  • Logo a alternativa correta é a letra (b).

Resposta

b) 7,5\%

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