Emum laboratório de materiais, um pequeno objeto é colocado para flutuar em um recipiente contendo mercúrio. Observa-se que apenas 1/8 do volume do objeto fica submerso nesse líquido. Em seguida, adiciona-se cuidadosamente querosene ao recipiente até que o objeto fique totalmente coberto, passando a flutuar na interface entre os dois líquidos, que são imiscíveis.
Considere:
densidade do mercúrio:
; densidade do querosene:
Determine a porcentagem do volume do objeto que permanece submersa no mercúrio após a adição do querosene.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
densidade do mercúrio:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um objeto que flutua primeiro em mercúrio e depois fica coberto por querosene, passando a flutuar na interface entre os dois líquidos. Pergunta-se qual a porcentagem do volume do objeto que fica submersa no mercúrio depois da adição do querosene.
Informações fornecidas:
- Fração do volume submerso no mercúrio antes de pôr o querosene:
do volume do objeto. - Densidade do mercúrio:
. - Densidade do querosene:
.
O que é pedido:
- Determinar a porcentagem do volume do objeto que permanece submersa no mercúrio após a adição do querosene.
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicado passo a passo): princípio de Arquimedes.
- Enunciado do princípio: um corpo imerso em um fluido sofre uma força para cima (empuxo) igual ao peso do volume do fluido deslocado.
- Em fórmulas: se um volume
de fluido com densidade é deslocado, o empuxo vale , onde é a aceleração da gravidade. - Equilíbrio de um objeto flutuante: empuxo total = peso do objeto. Se o objeto tem densidade
e volume total , seu peso é . - No caso de dois fluidos imiscíveis (mercúrio em baixo e querosene em cima) e o objeto imerso em ambos, o empuxo total é a soma dos empuxos de cada fluido deslocado:
onde
é o volume do objeto que está no mercúrio e
o volume que está no querosene. Aqui
quando o objeto fica totalmente coberto (totalmente submerso nos líquidos).
Passo 3
Usar a situação inicial (apenas mercúrio, sem querosene) para encontrar a densidade do objeto
.
- Na situação inicial somente o mercúrio produz empuxo, e foi observado que apenas
do volume do objeto fica submerso. Então . - Equilíbrio (empuxo = peso):
- Cancelando
e dos dois lados e isolando :
- Substituindo a densidade do mercúrio (peguei este valor do enunciado):
Explicação prática: o objeto é bem denso (mais denso que querosene, menos denso que mercúrio), e como só 1/8 do volume basta para equilibrar o peso com o empuxo do mercúrio, sua densidade é
da densidade do mercúrio.
Passo 4
Passar para a situação com os dois líquidos (objeto totalmente coberto e flutuando na interface). Definir variável procurada.
- Defina
como a fração do volume do objeto submersa no mercúrio:
- Como o objeto fica totalmente coberto, o volume no querosene é
. - Escrevendo o equilíbrio de empuxo (cancelando
e dividindo por ):
Passo 5
Isolar
na equação do passo anterior (resolução algébrica explicada):
- Expandindo:
- Agrupando os termos com
:
- Isolando
:
Comentário didático: essa fórmula faz sentido fisicamente — quanto mais denso for o líquido de cima (
aumentando), menor diferença no denominador e maior a fração
necessária no líquido mais denso para compensar, etc.
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular
passo a passo (usar as densidades do enunciado e o
encontrado).
- Peguei do enunciado:
e . Do passo 3 obtivemos . - Calcule o numerador:
- Calcule o denominador:
- Dividindo:
- Converter para porcentagem: multiplicar por
:
Arredondando conforme as opções do enunciado, isso corresponde a
.
Passo 7
Interpretação final e escolha da alternativa:
- A porcentagem do volume do objeto que permanece submersa no mercúrio após a adição do querosene é aproximadamente
. - Logo a alternativa correta é a letra (b).
Resposta
b)