A equação de uma onda transversal em uma corda de 40 m de comprimento, que se encontra esticada horizontalmente por uma tração de 200 N , é:
y(x, t)=(0,3 m m) \operatorname{sen}\left[\left(2,5 m^{-1}\right) x+\left(100 s^{-1}\right) t\right]
Calcule:
(2 pts) O módulo e o sentido da velocidade de propagação da onda.

Passo 1

O enunciado fornece a equação da onda transversal e alguns dados. Vou listar tudo claramente (peguei estes valores do enunciado):
  • Equação: y(x,t)=(0,3\\ \text{mm})\operatorname{sen}\!\big[(2,5\\ \text{m}^{-1})x+(100\\ \text{s}^{-1})t\big].
  • Amplitude: A=0,3\\ \text{mm}=0,0003\\ \mathrm{m}.
  • número de onda: k=2,5\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • frequência angular: \omega=100\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Também foi dada a tração T=200\\ \mathrm{N} e o comprimento L=40\\ \mathrm{m}, mas para responder o pedido (velocidade de propagação) não precisamos necessariamente desses valores porque k e \omega já determinam a velocidade de fase.
  • O que se pede: “O módulo e o sentido da velocidade de propagação da onda.”

Passo 2

Conceito-chave (mini-aula): para uma onda harmônica unidimensional com forma y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t) a fase é \varphi=kx-\omega t. Mantendo a fase constante ( \varphi= constante) obtém-se a posição de uma frente de fase em função do tempo e daí a velocidade de propagação (velocidade de fase) é
v=\frac{\omega}{k}.
Se a forma for y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx+\omega t) (como no enunciado), a fase é \varphi=kx+\omega t. Igualando \varphi a uma constante e isolando x:
k x + \omega t = \text{const} \quad\Rightarrow\quad x(t) = -\frac{\omega}{k}\,t + \text{const}.
Diferenciando, a velocidade da frente de fase é
\frac{dx}{dt}=-\frac{\omega}{k}.
Ou seja, o módulo da velocidade é \dfrac{\omega}{k} e o sinal negativo indica que a onda se propaga no sentido negativo do eixo x (para a esquerda).

Passo 3

Aplicando as fórmulas com os valores dados:
Calculemos o módulo da velocidade:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{100\\ \mathrm{s^{-1}}}{2,5\\ \mathrm{m^{-1}}}=40\\ \mathrm{m/s}.
Para reforçar (verificação): a frequência espacial (comprimento de onda) e o período são
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2,5}\approx2,513\\ \mathrm{m}, \qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{100}\approx0,0628\\ \mathrm{s},
e de fato \dfrac{\lambda}{T}= \dfrac{2,513}{0,0628}\approx40\\ \mathrm{m/s}, consistente com v=\omega/k.

Passo 4

Interpretação do sinal: como a fase é kx+\omega t e obtivemos dx/dt=-\omega/k, a onda se desloca no sentido negativo de x (ou seja, para a esquerda) com velocidade absoluta 40\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v=40\\ \mathrm{m/s}
sentido: -x (para a esquerda)

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