A equação de uma onda transversal em uma corda de 40 m de comprimento, que se encontra esticada horizontalmente por uma tração de 200 N , é:
y(x, t)=(0,3 m m) \operatorname{sen}\left[\left(2,5 m^{-1}\right) x+\left(100 s^{-1}\right) t\right]
Calcule:
(2 pts) A massa total da corda.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda e outros dados e pede a massa total da corda. Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Comprimento da corda: L=40\\ \mathrm{m}.
  • Tração (tensão) na corda: T=200\\ \mathrm{N}.
  • Equação da onda:
y(x,t)=(0{,}3\\ \mathrm{mm})\operatorname{sen}\bigl[(2{,}5\\ \mathrm{m^{-1}})\,x+(100\\ \mathrm{s^{-1}})\,t\bigr].
  • Da equação extraio o número de onda e a frequência angular:
    • k=2{,}5\\ \mathrm{m^{-1}} (peguei da equação),
    • \omega=100\\ \mathrm{s^{-1}} (peguei da equação).
O que se pede: calcular a massa total da corda.

Passo 2

Conceitos/fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma onda harmônica progressiva na corda representada por y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx\pm\omega t), o número de onda k e a frequência angular \omega se relacionam com a velocidade de propagação da onda v por
v=\frac{\omega}{k}.
Aqui k mede quantas oscilações cabem por unidade de comprimento (unidade \mathrm{m^{-1}}) e \omega mede quantas oscilações por segundo em termos angulares (unidade \mathrm{s^{-1}}). A razão \omega/k dá a velocidade com que uma fase da onda se desloca (unidade \mathrm{m/s}).

Passo 3

Calcular a velocidade da onda usando \omega e k:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{100}{2{,}5}=40\\ \mathrm{m/s}.
Pequeno comentário: isso significa que cada crista da onda se desloca ao longo da corda a 40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Ligação entre velocidade da onda, tensão e massa linear:
  • Para uma corda tensa, a velocidade de propagação das ondas transversais satisfaz
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \mu é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento, unidade \mathrm{kg/m}), e T é a tensão (unidade \mathrm{N}). Essa fórmula vem do equilíbrio entre força de tensão e inércia da corda para pequenas oscilações.
Reescrevendo para encontrar \mu:
\mu=\frac{T}{v^{2}}.

Passo 5

Calcular a massa linear \mu e, em seguida, a massa total m:
\mu=\frac{T}{v^{2}}=\frac{200}{40^{2}}=\frac{200}{1600}=0{,}125\\ \mathrm{kg/m}.
A massa total da corda é
m=\mu L=0{,}125\cdot 40.

Passo 6

Efeito aritmético final (a conta da linha anterior):
m=0{,}125\cdot 40=5\\ \mathrm{kg}.
Pronto — a massa total saiu bem redondinha. Força, velocidade e densidade linear conversaram e deram essa resposta. Vai com tudo na prova, você consegue!

Resposta

5\\ \mathrm{kg}

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