A equação de uma onda transversal em uma corda de 40 m de comprimento, que se encontra esticada horizontalmente por uma tração de 200 N , é:
y(x, t)=(0,3 m m) \operatorname{sen}\left[\left(2,5 m^{-1}\right) x+\left(100 s^{-1}\right) t\right]
Calcule:
( 2 pts) A frequência em Hz.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda:
y(x,t)=(0,3\\ \mathrm{mm})\\ \operatorname{sen}\!\left[(2,5\\ \mathrm{m}^{-1})\,x+(100\\ \mathrm{s}^{-1})\,t\right]
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitude: 0,3\\ \mathrm{mm} (não é necessária para a frequência).
  • Número de onda: k=2,5\\ \mathrm{m}^{-1} (não é necessário para a frequência pedida).
  • Coeficiente do tempo dentro do seno: 100\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Comprimento da corda 40\\ \mathrm{m} e tração 200\\ \mathrm{N} foram informados no enunciado, mas para calcular apenas a frequência eles não são necessários.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a frequência em hertz (Hz).

Passo 2

Entender a relação entre as grandezas presentes na equação da onda.
Uma onda harmônica simples normalmente é escrita na forma
y(x,t)=A\,\sin\!\left(kx\pm\omega t+\varphi\right),
onde:
  • A é a amplitude (metros),
  • k é o número de onda (em \mathrm{m}^{-1}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{s}^{-1}),
  • \varphi é a fase inicial (rad).
A frequência em hertz f está relacionada à frequência angular \omega por
\omega=2\pi f.
Essa fórmula vem do fato de que uma volta completa da função seno corresponde a 2\pi radianos e dura 1/f segundos.

Passo 3

Identificar a frequência angular \omega no enunciado e isolar f.
Na equação dada o coeficiente que multiplica t dentro do seno é (100\\ \mathrm{s}^{-1}). Isso corresponde à frequência angular:
\omega=100\\ \mathrm{s}^{-1}.
Usando \omega=2\pi f, isolamos f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{100}{2\pi}=\frac{50}{\pi}.

Passo 4

Calcular numericamente e interpretar o resultado.
Aproximando \pi\approx3,1416 temos
f=\frac{50}{\pi}\approx\frac{50}{3,1416}\approx15{,}9155\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com duas casas decimais (suficiente para esta aplicação):
f\approx15{,}92\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

f\approx15{,}92\\ \mathrm{Hz}

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