Q26.3 Você liga diversas lâmpadas idênticas a uma pilha de lanterna. (a) O que ocorre com a luminosidade das lâmpadas à medida que o número delas aumenta quando a ligação é (i) em série? (ii) Em paralelo? (b) A bateria dura mais quando a ligação é em série ou quando é em paralelo? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado dá: várias lâmpadas idênticas ligadas a uma pilha de lanterna. Pergunta (a) o que acontece com a luminosidade (brilho) das lâmpadas conforme o número delas aumenta quando a ligação é (i) em série e (ii) em paralelo; e (b) se a bateria dura mais na ligação em série ou na ligação em paralelo, com justificativa. Nenhuma outra informação numérica foi dada, então vou trabalhar com um modelo físico simples (pilha com fem e resistência interna, lâmpadas modeladas por uma resistência ôhmica) e apresentar os resultados gerais e os limites típicos.

Passo 2

Vou definir um modelo simples e apresentar as fórmulas básicas que vamos usar (aquelas que você precisa saber para resolver esse tipo de questão na prova).
Definições e variáveis:
  • \mathcal{E} = fem (tensão ideal) da pilha (unidade: volts).
  • r = resistência interna da pilha (unidade: ohms). Se a pilha for ideal, r=0; pilhas reais têm r>0.
  • R = resistência de cada lâmpada (são idênticas).
  • n = número de lâmpadas ligadas.
Leis e fórmulas importantes (explicadas de maneira simples):
  • Lei de Ohm: a corrente que atravessa uma resistência R quando há uma diferença de potencial V é
I=\dfrac{V}{R}.
Aqui I é corrente (ampères), V tensão (volts).
  • Potência dissipada por uma resistência R atravessada por corrente I:
P=I^{2}R = V I = \dfrac{V^{2}}{R}.
A potência está ligada ao brilho da lâmpada (quanto maior P, mais brilhante).
  • Potência fornecida pela pilha é P_{\text{pilha}} = \mathcal{E}\,I_{\text{total}} (onde I_{\text{total}} é a corrente total que sai da pilha).
  • Tempo de duração da pilha: se a energia disponível na pilha for fixe (ou seja, capacidade energética fixa), o tempo de descarga é aproximadamente proporcional a 1/P_{\text{pilha}}. Em termos simples: quanto mais potência a pilha fornece, mais rápido ela descarrega.
Com essas fórmulas, vamos calcular corrente e potência nos dois modos de ligação e ver o comportamento quando n cresce.

Passo 3

Montagem: as n lâmpadas, cada uma com resistência R, ficam em série; resistência total externa é R_{\text{ext}}=nR. A pilha com resistência interna r está em série também, logo a corrente na corrente da cadeia é
I_{\text{s}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r+nR}.
Explicação: a tensão total \mathcal{E} é “dividida” entre a resistência interna r e as n lâmpadas somadas; pela lei de Ohm a corrente é fem sobre resistência total.
A potência dissipada em cada lâmpada (que determina o brilho de cada uma) é
P_{\text{cada,s}}=I_{\text{s}}^{2}R=\dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{(r+nR)^{2}}.
Interpretação quando n aumenta:
  • O denominador (r+nR)^{2} cresce rapidamente com n, portanto P_{\text{cada,s}} diminui quando n aumenta.
  • Limite ideal (pilha perfeita, r=0): então
P_{\text{cada,s}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{(nR)^{2}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{n^{2}R},
ou seja, o brilho de cada lâmpada cai proporcionalmente a 1/n^{2}. Na prática, com r>0 a queda pode ser ainda mais pronunciada dependendo de r.
Também útil: potência total fornecida pela pilha no caso em série é
P_{\text{total,s}}=\mathcal{E}\,I_{\text{s}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{r+nR}.
Isso aumenta com n no denominador? Na verdade, à medida que n cresce, r+nR cresce e a potência total diminui.
Resumo físico (série): ao adicionar lâmpadas em série a corrente total cai, e cada lâmpada fica mais fraca; com muitas lâmpadas elas ficam bem apagadas.

Passo 4

Montagem: as n lâmpadas ficam em paralelo, cada uma com resistência R. A resistência equivalente externa é
R_{\text{eq}}=\dfrac{R}{n}.
A corrente total que sai da pilha é
I_{\text{tot,p}}=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R/n}.
A corrente em cada lâmpada (cada ramo) é a corrente total dividida por n:
I_{\text{cada,p}}=\dfrac{I_{\text{tot,p}}}{n}=\dfrac{\mathcal{E}}{nr+R}.
Observação útil: simplificando a expressão foi possível escrever o denominador de forma simétrica à do caso série (troca nR \leftrightarrow n r).
A potência em cada lâmpada é
P_{\text{cada,p}}=I_{\text{cada,p}}^{2}R=\dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{(R+nr)^{2}}.
Interpretação quando n aumenta:
  • Se a resistência interna r for muito pequena em comparação com R (pilha quase ideal, r\approx 0), a expressão reduz-se a
P_{\text{cada,p}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{R^{2}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R},
ou seja, cada lâmpada mantém praticamente o mesmo brilho independente de n. Isso é o caso mais intuitivo: lâmpadas em paralelo veem a tensão da pilha praticamente inteira.
  • Se a resistência interna r não for desprezível, quando n cresce muito o termo nr domina e então
P_{\text{cada,p}}\approx \dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{(nr)^{2}}\propto \dfrac{1}{n^{2}},
ou seja, com muitas lâmpadas a queda de tensão interna passa a reduzir o brilho de cada lâmpada. Mas essa queda começa a aparecer só quando nr se torna comparável a R.
Potência total fornecida pela pilha em paralelo:
P_{\text{total,p}}=\mathcal{E}\,I_{\text{tot,p}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{r+R/n}.
Note que, para r pequeno, r+R/n fica pequeno conforme aumenta n (porque R/n diminui), portanto P_{\text{total,p}} tende a crescer com n (até que o efeito de r limite esse crescimento).
Resumo físico (paralelo): para pilha ideal cada lâmpada conserva brilho quando se adicionam mais lâmpadas; para pilha real com resistência interna, cada lâmpada se mantém quase constante até um certo n, e só com muitas lâmpadas o brilho de cada uma cai devido à queda de tensão interna.

Passo 5

Comparando potências totais aproveitáveis pela pilha nos dois casos:
P_{\text{total,s}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{r+nR},\qquad P_{\text{total,p}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{r+R/n}.
Como R/n\le nR (para n\ge 1 e R>0), temos
r+R/n \le r+nR,
logo
P_{\text{total,p}} \ge P_{\text{total,s}}.
Isto significa: a pilha fornece sempre (para n\ge1) mais potência quando as lâmpadas estão em paralelo do que quando estão em série. Em palavras: paralelo faz a pilha trabalhar mais (fornece mais corrente total), série faz a pilha trabalhar menos.
Tempo de vida da pilha: se a pilha tem uma energia disponível fixa E_{\text{disp}} (capacidade energética), o tempo de descarga aproximado é
t \approx \dfrac{E_{\text{disp}}}{P_{\text{total}}}.
Como P_{\text{total,p}} é maior que P_{\text{total,s}}, a pilha descarregará mais rápido em paralelo do que em série. Portanto a pilha dura mais quando as lâmpadas estão em série.
Casos limites e interpretação simples:
  • Pilha ideal ( r=0): cada lâmpada em paralelo recebe sempre \mathcal{E} e brilha com potência \mathcal{E}^{2}/R; total consumido é n\mathcal{E}^{2}/R. Em série cada lâmpada brilha com potência \mathcal{E}^{2}/(n^{2}R) e o total consumido é \mathcal{E}^{2}/(nR). A potência total em paralelo é n^{2} vezes a potência total em série: a pilha acaba muito mais rápido em paralelo.
  • Pilha real ( r>0): resultado qualitativo igual: paralelo faz a pilha fornecer mais potência total e descarregar mais rápido; série faz pilha fornecer menos potência e durar mais, embora para grandes n a queda de brilho em paralelo também ocorra por conta da resistência interna.

Passo 6

  • Em série: ao aumentar n a corrente total cai e cada lâmpada fica mais fraca; para pilha ideal o brilho de cada lâmpada cai como 1/n^{2}.
  • Em paralelo: se a pilha for ideal cada lâmpada mantém praticamente o mesmo brilho quando se adicionam mais lâmpadas; se a pilha tiver resistência interna, cada lâmpada mantém o brilho até um certo número de lâmpadas e só com muitas delas o brilho começa a cair (porque a queda de tensão na resistência interna começa a ser importante).
  • Quanto à duração da pilha: a pilha dura mais quando as lâmpadas estão em série (porque a potência total solicitada à pilha é menor em série do que em paralelo), portanto em paralelo a pilha descarrega mais rápido.

Resposta

(a)(i) Em série: o brilho de cada lâmpada diminui à medida que o número n aumenta (com modelo \;P_{\text{cada,s}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{(r+nR)^{2}}\;, e para r=0 reduz a \dfrac{\mathcal{E}^{2}}{n^{2}R}).
(a)(ii) Em paralelo: para pilha ideal ( r=0) o brilho de cada lâmpada permanece praticamente constante ao aumentar n (cada lâmpada tem P_{\text{cada,p}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}); para pilha real ( r>0) o brilho de cada lâmpada só começa a diminuir quando n fica grande o suficiente para que nr seja comparável a R, seguindo \;P_{\text{cada,p}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}R}{(R+nr)^{2}}.
(b) A bateria dura mais com as lâmpadas em série, porque a potência total fornecida pela pilha é menor em série ( \;P_{\text{total,s}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{r+nR}\;) do que em paralelo ( \;P_{\text{total,p}}=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{r+R/n}\;), e tempo de vida é aproximadamente capacidade energética dividida pela potência fornecida.

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