- A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é
, onde
e
estão em centímetros e
em segundos. Determine
(g) Qual é o deslocamento transversal em
para
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- A equação da onda fornecida é
, com e em centímetros e em segundos. - Os valores pedidos são
e . - A pergunta é: qual é o deslocamento transversal
nesse ponto e instante?
Resumo dos dados úteis:
Passo 2
Estratégia direta e simples: a função já dá
em termos de
e
. Basta substituir
e
na expressão e calcular o seno. Antes de calcular, uma observação didática rápida sobre a sintaxe da função de onda:
- O número
é a amplitude: é o valor máximo do deslocamento (em ). - A expressão dentro do seno,
, é o ângulo (em radianos) cujo seno determina o deslocamento instantâneo. - Importante: as funções trigonométricas em matemática usam radianos quando o argumento é um número real sem indicação de graus, por isso tratamos
em radianos.
Agora vamos calcular passo a passo a substituição.
Passo 3
Substituir
e
na expressão do argumento do seno:
Calcular cada produto:
Somando os dois termos:
Portanto o argumento do seno é
Em forma numérica (radianos),
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Para facilitar a conta usamos identidades trigonométricas para reduzir o ângulo:
- Note que
. Para ângulos do tipo vale a identidade
Aplicando com
obtemos
- Observação útil:
. Como , temos
Logo
Então basta calcular
. Para isso vamos usar uma técnica numérica controlada (dividindo o ângulo em uma conhecida base e um pequeno desvio), para obter precisão sem calculadora sofisticada.
Escolhemos
(que satisfaz
) e escrevemos
onde
Usamos a fórmula de soma de ângulos:
Como
, isso fica
Agora aproximamos
e
por séries de baixo grau (pois
é pequeno):
Com
temos
Portanto
Somando:
Multiplicando por
:
Logo
Passo 5
Agora multiplicar pelo fator de amplitude
para obter
:
Arredondando de forma adequada (os dados do problema têm três algarismos no amplitude e dois decimais nos pontos, então usar duas casas decimais é razoável):
Interpretação curta: o sinal negativo indica que o ponto da corda está deslocado
para o lado negativo da direção
(isto é, “para baixo”, se adotarmos a convenção usual).