1. A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y=6,0 \operatorname{sen}(0,20 \pi x+ 4,0 \pi t), onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine
(g) Qual é o deslocamento transversal em x=3,5 \mathrm{~cm} para t=0,26 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A equação da onda fornecida é \displaystyle y=6,0\\ \operatorname{sen}\!\bigl(0,20\pi x + 4,0\pi t\bigr), com x e y em centímetros e t em segundos.
  • Os valores pedidos são x=3,5\\ \text{cm} e t=0,26\\ \text{s}.
  • A pergunta é: qual é o deslocamento transversal y nesse ponto e instante?
Resumo dos dados úteis:
y=6,0\\ \operatorname{sen}\!\bigl(0,20\pi x + 4,0\pi t\bigr),\qquad x=3,5,\qquad t=0,26.

Passo 2

Estratégia direta e simples: a função já dá y em termos de x e t. Basta substituir x=3,5 e t=0,26 na expressão e calcular o seno. Antes de calcular, uma observação didática rápida sobre a sintaxe da função de onda:
  • O número 6,0 é a amplitude: é o valor máximo do deslocamento (em \text{cm}).
  • A expressão dentro do seno, \theta=0,20\pi x + 4,0\pi t, é o ângulo (em radianos) cujo seno determina o deslocamento instantâneo.
  • Importante: as funções trigonométricas em matemática usam radianos quando o argumento é um número real sem indicação de graus, por isso tratamos \theta em radianos.
Agora vamos calcular passo a passo a substituição.

Passo 3

Substituir x e t na expressão do argumento do seno:
Calcular cada produto:
0,20\cdot 3,5 = 0,70,
4,0\cdot 0,26 = 1,04.
Somando os dois termos:
0,70 + 1,04 = 1,74.
Portanto o argumento do seno é
\theta = 1,74\pi.
Em forma numérica (radianos),
\theta = 1,74\pi \approx 1,74\cdot 3,14159265 \approx 5,466371211\\ \text{rad}.

Passo 4

Agora precisamos calcular \operatorname{sen}(\theta)=\operatorname{sen}(1,74\pi). Para facilitar a conta usamos identidades trigonométricas para reduzir o ângulo:
  • Note que 1,74\pi = \pi + 0,74\pi. Para ângulos do tipo \pi + \alpha vale a identidade
\operatorname{sen}(\pi + \alpha) = -\operatorname{sen}(\alpha).
Aplicando com \alpha = 0,74\pi obtemos
\operatorname{sen}(1,74\pi) = -\operatorname{sen}(0,74\pi).
  • Observação útil: 0,74\pi = \pi - 0,26\pi. Como \operatorname{sen}(\pi - \beta)=\operatorname{sen}(\beta), temos
\operatorname{sen}(0,74\pi) = \operatorname{sen}(0,26\pi).
Logo
\operatorname{sen}(1,74\pi) = -\operatorname{sen}(0,26\pi).
Então basta calcular \operatorname{sen}(0,26\pi). Para isso vamos usar uma técnica numérica controlada (dividindo o ângulo em uma conhecida base e um pequeno desvio), para obter precisão sem calculadora sofisticada.
Escolhemos a=\dfrac{\pi}{4} (que satisfaz \operatorname{sen}a=\operatorname{cos}a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}) e escrevemos
0,26\pi = a + \delta,
onde
a=\frac{\pi}{4}\approx 0,785398163\quad\text{e}\quad \delta = 0,26\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{100}\approx 0,031415927.
Usamos a fórmula de soma de ângulos:
\operatorname{sen}(a+\delta)=\operatorname{sen}a\cos\delta + \cos a\operatorname{sen}\delta.
Como \operatorname{sen}a=\cos a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, isso fica
\operatorname{sen}(0,26\pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\cos\delta + \operatorname{sen}\delta\bigr).
Agora aproximamos \cos\delta e \operatorname{sen}\delta por séries de baixo grau (pois \delta é pequeno):
\cos\delta \approx 1 - \frac{\delta^{2}}{2},\qquad \operatorname{sen}\delta \approx \delta - \frac{\delta^{3}}{6}.
Com \delta=\dfrac{\pi}{100}\approx 0,031415927 temos
\delta^{2}\approx 0,00098696,\qquad \frac{\delta^{2}}{2}\approx 0,00049348,
\delta^{3}\approx 0,00003099,\qquad \frac{\delta^{3}}{6}\approx 0,00000517.
Portanto
\cos\delta \approx 1 - 0,00049348 = 0,99950652,
\operatorname{sen}\delta \approx 0,031415927 - 0,00000517 = 0,031410757.
Somando:
\cos\delta + \operatorname{sen}\delta \approx 0,99950652 + 0,031410757 = 1,030917277.
Multiplicando por \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707106781:
\operatorname{sen}(0,26\pi)\approx 0,707106781\cdot 1,030917277 \approx 0,728963997.
Logo
\operatorname{sen}(1,74\pi) = -\operatorname{sen}(0,26\pi) \approx -0,728963997.

Passo 5

Agora multiplicar pelo fator de amplitude 6,0 para obter y:
y = 6,0\cdot \operatorname{sen}(1,74\pi) \approx 6,0\cdot(-0,728963997) \approx -4,373783982.
Arredondando de forma adequada (os dados do problema têm três algarismos no amplitude e dois decimais nos pontos, então usar duas casas decimais é razoável):
y \approx -4,37\\ \text{cm}.
Interpretação curta: o sinal negativo indica que o ponto da corda está deslocado 4,37\\ \text{cm} para o lado negativo da direção y (isto é, “para baixo”, se adotarmos a convenção usual).

Resposta

-4,37\\ \text{cm}

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