- Em um oscilador amortecido com
e
, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?
Passo 1
O enunciado fornece os parâmetros do oscilador amortecido e pede a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos. Dados fornecidos:
- Massa:
. - Constante elástica:
. - Coeficiente de amortecimento linear:
. - Número de ciclos:
.
O que se pede: calcular
para o instante correspondente a
ciclos (ou seja, após
períodos).
Passo 2
Equação do movimento e forma da solução (passo-a-passo didático).
A equação diferencial do oscilador amortecido é
A equação diferencial do oscilador amortecido é
As soluções depend do discriminante dos coeficientes; no caso subamortecido (que é o mais comum quando o amortecimento é pequeno) a solução é oscilatória com amplitude decrescente exponencialmente. Escrevendo as raízes da equação característica, obtemos uma taxa de decaimento exponencial
e a forma da amplitude em função do tempo (envoltória) é
Aqui:
-
é a amplitude inicial, -
é a amplitude após tempo , -
tem unidade de e determina a rapidez do decaimento.
Vou usar exatamente essa fórmula para achar a razão
. Antes, preciso garantir que o sistema é subamortecido e calcular
correspondente a 20 ciclos.
Passo 3
Conversão de unidades e verificação do regime (subamortecido / crítico / superamortecido).
Converter massa e amortecimento para SI:
Converter massa e amortecimento para SI:
A condição crítica de amortecimento é
. Calculo:
logo
Como
, o sistema é claramente subamortecido (ou seja, oscilações ocorrem com decaimento exponencial de amplitude). Podemos usar a fórmula de
acima.
Passo 4
Cálculo da taxa de decaimento
.
Interpretação: a amplitude decai aproximadamente com uma constante de tempo
.
Passo 5
Cálculo da frequência natural
e da frequência amortecida
(para achar o período de cada ciclo).
A frequência natural (sem amortecimento) é
A frequência natural (sem amortecimento) é
A frequência angular amortecida é
Observação: como
é muito pequeno comparado a
, tem-se
(praticamente igual até a precisão que precisamos).
Passo 6
Cálculo do período de uma oscilação (período amortecido) e do tempo total para 20 ciclos.
O período amortecido é
O período amortecido é
O tempo correspondente a
ciclos é
Passo 7
Cálculo da razão das amplitudes usando
.
Primeiro o produto :
Primeiro o produto
Então a razão é
Passo 8
Arredondamento e interpretação final (motivaçãzinha).
Arredondando com três algarismos significativos, a razão é aproximadamente . Isso significa que, após 20 ciclos, a amplitude vale cerca de
da amplitude inicial — ou seja, ela diminuiu para pouco menos de 40% do valor inicial. Bom trabalho: já entendeu que amortecimento pequeno ainda causa redução significativa ao longo de muitos ciclos — respira, você está indo bem!
Arredondando com três algarismos significativos, a razão é aproximadamente