1. Em um oscilador amortecido com m=250 g, k=85 N / m e b=70 g / s, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?

Passo 1

O enunciado fornece os parâmetros do oscilador amortecido e pede a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos. Dados fornecidos:
  • Massa: m=250\\ \text{g}.
  • Constante elástica: k=85\\ \text{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento linear: b=70\\ \text{g/s}.
  • Número de ciclos: N=20.
O que se pede: calcular \dfrac{A(t)}{A_0} para o instante correspondente a 20 ciclos (ou seja, após 20 períodos).

Passo 2

Equação do movimento e forma da solução (passo-a-passo didático).
A equação diferencial do oscilador amortecido é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
As soluções depend do discriminante dos coeficientes; no caso subamortecido (que é o mais comum quando o amortecimento é pequeno) a solução é oscilatória com amplitude decrescente exponencialmente. Escrevendo as raízes da equação característica, obtemos uma taxa de decaimento exponencial
\gamma=\frac{b}{2m},
e a forma da amplitude em função do tempo (envoltória) é
A(t)=A_0 e^{-\gamma t}.
Aqui:
  • A_0 é a amplitude inicial,
  • A(t) é a amplitude após tempo t,
  • \gamma tem unidade de \text{s}^{-1} e determina a rapidez do decaimento.
Vou usar exatamente essa fórmula para achar a razão \dfrac{A(t)}{A_0}=e^{-\gamma t}. Antes, preciso garantir que o sistema é subamortecido e calcular t correspondente a 20 ciclos.

Passo 3

Conversão de unidades e verificação do regime (subamortecido / crítico / superamortecido).
Converter massa e amortecimento para SI:
m=250\\ \text{g}=0,250\\ \text{kg},\qquad b=70\\ \text{g/s}=0,070\\ \text{kg/s}.
A condição crítica de amortecimento é b_{\text{crítico}}=2\sqrt{km}í. Calculo:
\sqrt{km}=\sqrt{85\cdot0,250}=\sqrt{21,25}\approx4,610,
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b_{\text{crítico}}=2\sqrt{km}\approx2\cdot4,610\approx9,220\\ \text{kg/s}.í
Como b=0,070\\ \text{kg/s}\ll b_{\text{crítico}}í, o sistema é claramente subamortecido (ou seja, oscilações ocorrem com decaimento exponencial de amplitude). Podemos usar a fórmula de A(t) acima.

Passo 4

Cálculo da taxa de decaimento \gamma.
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0,070}{2\cdot0,250}=\frac{0,070}{0,500}=0,14\\ \text{s}^{-1}.
Interpretação: a amplitude decai aproximadamente com uma constante de tempo 1/\gamma\approx7,14\\ \text{s}.

Passo 5

Cálculo da frequência natural \omega_0 e da frequência amortecida \omega_d (para achar o período de cada ciclo).
A frequência natural (sem amortecimento) é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{85}{0,250}}=\sqrt{340}\approx18,439\\ \text{rad/s}.
A frequência angular amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}=\sqrt{340-(0,14)^2}=\sqrt{340-0,0196}=\sqrt{339,9804}\approx18,439.
Observação: como \gamma é muito pequeno comparado a \omega_0, tem-se \omega_d\approx\omega_0 (praticamente igual até a precisão que precisamos).

Passo 6

Cálculo do período de uma oscilação (período amortecido) e do tempo total para 20 ciclos.
O período amortecido é
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{18,439}\approx0,34074\\ \text{s}.
O tempo correspondente a 20 ciclos é
t=20\,T_d\approx20\cdot0,34074\approx6,8148\\ \text{s}.

Passo 7

Cálculo da razão das amplitudes usando A(t)=A_0 e^{-\gamma t}.
Primeiro o produto \gamma t:
\gamma t=0,14\cdot6,8148\approx0,95408.
Então a razão é
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-\gamma t}=e^{-0,95408}\approx0,3856.

Passo 8

Arredondamento e interpretação final (motivaçãzinha).
Arredondando com três algarismos significativos, a razão é aproximadamente 0,386. Isso significa que, após 20 ciclos, a amplitude vale cerca de 38{,}6\% da amplitude inicial — ou seja, ela diminuiu para pouco menos de 40% do valor inicial. Bom trabalho: já entendeu que amortecimento pequeno ainda causa redução significativa ao longo de muitos ciclos — respira, você está indo bem!

Resposta

\dfrac{A(t)}{A_0}=0,386

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