1. Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. O deslocamento da corda em x=10 c m varia com o tempo de acordo com a equação y=5,0 \operatorname{sen}(1,0-4,0 . t). A massa específica linear da corda é 4.0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}.
(b) Calcule o comprimento de onda da onda? Se a equação da onda é da forma y(x, t)= y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Velocidade de propagação: v = 40\\ \mathrm{cm/s}.
  • Em x=10\\ \mathrm{cm} o deslocamento varia com o tempo segundo a equação y = 5,0\\ \operatorname{sen}\!\bigl(1,0 - 4,0\,t\bigr).(Peguei a forma temporal da onda em x=10\\ \mathrm{cm} diretamente do enunciado.)
  • O enunciado pede o comprimento de onda \lambda, sabendo que a forma geral da onda é y(x,t)=y_{m}\,\operatorname{sen}\!\bigl(kx \pm \omega t\bigr).
O objetivo daqui para frente é identificar k (número de onda) a partir da forma dada em x=10\\ \mathrm{cm} e então calcular \lambda.

Passo 2

Entendendo como comparar a forma dada em x=10\\ \mathrm{cm} com a forma geral.
  • Para a forma geral y(x,t)=y_{m}\,\operatorname{sen}\!\bigl(kx \pm \omega t\bigr), se eu fixar x=10\\ \mathrm{cm} a fase fica k\cdot 10 \pm \omega t.
  • A expressão fornecida em x=10\\ \mathrm{cm} é 1,0 - 4,0\,t. Isso tem o formato (\text{constante}) - (\text{número})\cdot tú, portanto corresponde ao caso com sinal negativo: k\cdot 10 - \omega t = 1,0 - 4,0\,t.
    • Assim identifico imediatamente: k\cdot 10 = 1,0\quad\text{e}\quad \omega = 4,0.
  • Isolando k: k = \dfrac{1,0}{10} = 0,1\\ \mathrm{rad/cm}.
Aqui k é o número de onda: ele mede quantos radianos de fase existem por centímetro (unidade \mathrm{rad/cm}). \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Relação entre k e o comprimento de onda \lambda.
  • A definição matemática que liga k e \lambda é k = \dfrac{2\pi}{\lambda}.Explicando: avançando uma distância \lambda a fase aumenta em 2\pi radianos, por isso k\lambda=2\pi.
  • Isolando \lambda: \lambda = \dfrac{2\pi}{k}.
  • Substituindo k=0,1\\ \mathrm{rad/cm}: \lambda = \dfrac{2\pi}{0,1} = 20\pi\\ \mathrm{cm}.
  • Se quiser um valor numérico aproximado: 20\pi\\ \mathrm{cm}\approx 62,83\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Checagem rápida usando a velocidade dada.
  • A relação entre velocidade de fase v, \omega e k é v=\dfrac{\omega}{k}.Substituindo \omega=4,0\\ \mathrm{rad/s} e k=0,1\\ \mathrm{rad/cm}: v=\dfrac{4,0}{0,1}=40\\ \mathrm{cm/s},que coincide com a velocidade fornecida no enunciado. Isso confirma que a identificação de k e \omega está correta e que \lambda calculada é consistente.

Resposta

\lambda = 20\pi\\ \mathrm{cm} \approx 62,83\\ \mathrm{cm}

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