- Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de
. O deslocamento da corda em
varia com o tempo de acordo com a equação
. A massa específica linear da corda é
.
(d) Qual é a tensão da corda?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Velocidade de propagação:
. - Em
o deslocamento varia com o tempo segundo . - Massa linear da corda:
. - Pergunta (d): qual é a tensão
da corda?
Passo 2
Converter tudo para unidades SI (explico cada passo porque é importante trabalhar com unidades consistentes).
- Velocidade:
, pois . - Posição:
. (Usada abaixo para obter .) - Massa linear:
. Primeiro transformar em : . Em : . Assim .
Passo 3
Relembrando a teoria essencial (passo-a-passo, sem pular etapa):
- Uma onda harmônica transversal numa corda pode ser escrita em geral como
, onde: -
é a amplitude (unidade de comprimento). -
é o número de onda (em ), relacionado ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular (em ), relacionada à frequência por . -
é uma fase inicial (em radianos).
-
- A velocidade de propagação da onda é dada por
- Para uma corda tensa, a velocidade também relaciona-se à tensão
e à massa linear por
Aqui
é a tensão (em newtons) e
é a massa por unidade de comprimento (em
). Podemos resolver essa última para
:
Essa é a fórmula que nos vai dar a tensão quando soubermos
e
.
Passo 4
Determinar
e
a partir da forma dada da onda em
.
- A expressão dada em
é . Comparando com , a parte dependente de é , então identificamos . - A constante
presente na fase quando corresponde ao termo avaliado em . Se assumirmos que não há fase extra além do termo (ou seja, quando ), podemos inferir que
Assim
(Observação: mesmo que a constante
inclua uma pequena fase
, o importante aqui é que a razão
resultante deve coincidir com a velocidade dada; como veremos, dá tudo consistente.)
- Conferindo a velocidade com
e :
que coincide com a velocidade fornecida
. Tudo consistente.
Passo 5
Calcular a tensão usando
.
- Já temos
e . - Calcular
:
- Agora multiplicar por
:
Passo 6
Interpretação rápida (para te deixar confiante): a tensão
é pequena porque a massa por unidade de comprimento é relativamente pequena e a velocidade de onda também é baixa; a fórmula
é direta e é o que a prova provavelmente espera que você aplique.