1. Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. O deslocamento da corda em x=10 c m varia com o tempo de acordo com a equação y=5,0 \operatorname{sen}(1,0-4,0 . t). A massa específica linear da corda é 4.0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}.
(d) Qual é a tensão da corda?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Velocidade de propagação: v=40\\ \mathrm{cm/s}.
  • Em x=10\\ \mathrm{cm} o deslocamento varia com o tempo segundo y=5,0\\ \operatorname{sen}(1,0-4,0\\ t).
  • Massa linear da corda: \mu=4,0\\ \mathrm{g/cm}.
  • Pergunta (d): qual é a tensão T da corda?

Passo 2

Converter tudo para unidades SI (explico cada passo porque é importante trabalhar com unidades consistentes).
  • Velocidade: 40\\ \mathrm{cm/s} = 0,4\\ \mathrm{m/s}, pois 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Posição: x=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}. (Usada abaixo para obter k.)
  • Massa linear: 4,0\\ \mathrm{g/cm}. Primeiro transformar em \mathrm{g/m}: 4,0\\ \mathrm{g/cm}\times 100\\ \mathrm{cm/m}=400\\ \mathrm{g/m}. Em \mathrm{kg/m}: 400\\ \mathrm{g/m}=0,400\\ \mathrm{kg/m}. Assim \mu=0,4\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Relembrando a teoria essencial (passo-a-passo, sem pular etapa):
  • Uma onda harmônica transversal numa corda pode ser escrita em geral como y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude (unidade de comprimento).
    • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}), relacionado ao comprimento de onda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
    • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f.
    • \varphi é uma fase inicial (em radianos).
  • A velocidade de propagação da onda é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
  • Para uma corda tensa, a velocidade também relaciona-se à tensão T e à massa linear \mu por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui T é a tensão (em newtons) e \mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}). Podemos resolver essa última para T:
T=\mu v^{2}.
Essa é a fórmula que nos vai dar a tensão quando soubermos \mu e v.

Passo 4

Determinar \omega e k a partir da forma dada da onda em x=10\\ \mathrm{cm}.
  • A expressão dada em x=10\\ \mathrm{cm} é y=5,0\\ \operatorname{sen}(1,0-4,0\\ t). Comparando com A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi), a parte dependente de t é -4,0\\ t, então identificamos \omega=4,0\\ \mathrm{rad/s}.
  • A constante 1,0 presente na fase quando x=10\\ \mathrm{cm} corresponde ao termo kx+\varphi avaliado em x=0,10\\ \mathrm{m}. Se assumirmos que não há fase extra além do termo kx (ou seja, kx+\varphi= kx quando \varphi=0), podemos inferir que
k\cdot x = 1,0\quad\text{quando }x=0,10\\ \mathrm{m}.
Assim
k=\frac{1,0}{0,10}=10\\ \mathrm{rad/m}.
(Observação: mesmo que a constante 1,0 inclua uma pequena fase \varphi, o importante aqui é que a razão \omega/k resultante deve coincidir com a velocidade dada; como veremos, dá tudo consistente.)
  • Conferindo a velocidade com \omega e k:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{4,0}{10}=0,4\\ \mathrm{m/s},
que coincide com a velocidade fornecida 0,4\\ \mathrm{m/s}. Tudo consistente.

Passo 5

Calcular a tensão usando T=\mu v^{2}.
  • Já temos \mu=0,4\\ \mathrm{kg/m} e v=0,4\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular v^{2}:
v^{2}=(0,4)^{2}=0,16\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Agora multiplicar por \mu:
T=\mu v^{2}=0,4\times 0,16=0,064\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação rápida (para te deixar confiante): a tensão T é pequena porque a massa por unidade de comprimento é relativamente pequena e a velocidade de onda também é baixa; a fórmula T=\mu v^{2} é direta e é o que a prova provavelmente espera que você aplique.

Resposta

T=0,064\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados