3- A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é :
y=5,0 \operatorname{sen}(0,08 \pi x+16,0 \pi t)
onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine (justificando):
a) a amplitude,
b) o comprimento de onda,
c) a frequência,
d) a velocidade de propagação da onda,
e) o sentido de propagação da onda e
f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda.
g) Qual é o deslocamento transversal em \mathrm{x}=2,5 \mathrm{~cm} para \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (copiando a equação dada):
y=5,0\\ \operatorname{sen}(0,08\pi x + 16,0\pi t)
onde x e y estão em centímetros e t em segundos. O que o exercício pede:
a) a amplitude;
b) o comprimento de onda;
c) a frequência;
d) a velocidade de propagação da onda;
e) o sentido de propagação da onda;
f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda;
g) o deslocamento transversal em \,x=2,5\\ \mathrm{cm} para \,t=2,0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender a forma padrão de uma onda senoidal viajante e o significado dos parâmetros. Uma forma comum é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi)
onde:
  • A é a amplitude (máxima deflexão transversal), com as mesmas unidades de y.
  • k é o número de onda, medido em radianos por unidade de comprimento; relaciona-se ao comprimento de onda \lambda por \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • \omega é a frequência angular, em rad/s; relaciona-se à frequência f por \;\omega=2\pi f.
  • \varphi é a fase inicial (deslocamento de fase).
    A velocidade de propagação da onda pode ser obtida por
v=\frac{\omega}{k}=\lambda f.
Observação sobre o sinal: se a forma é \sin(kx-\omega t) a onda move-se no sentido positivo de x; se for \sin(kx+\omega t) a onda move-se no sentido negativo de x. Vou usar essas relações ao identificar os parâmetros do enunciado.

Passo 3

Identificar os parâmetros na equação dada, comparando com a forma \;y=A\sin(kx+\omega t+\varphi) (note o sinal + antes de \omega t no enunciado):
Da equação
y=5,0\\ \operatorname{sen}(0,08\pi x + 16,0\pi t)
temos:
A=5,0\\ \mathrm{cm},
k=0,08\pi\\ \text{(rad/cm)},
\omega=16,0\pi\\ \text{(rad/s)},
e a fase \varphi=0. Observação: aqui k está em radianos por centímetro porque x está em centímetros.

Passo 4

Calcular a amplitude (item a).
Pela identificação feita, a amplitude é simplesmente
A=5,0\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: é a maior distância, em centímetros, que um ponto da corda se afasta da posição de equilíbrio.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda (item b).
Usamos \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}. Então
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{0,08\pi}.
Cancelar \pi:
\lambda=\frac{2}{0,08} = 25\\ \mathrm{cm}.
Comentário: o comprimento de onda é a distância, ao longo da corda, entre pontos consecutivos que se movem em fase.

Passo 6

Calcular a frequência f (item c).
Usamos \;\omega=2\pi f, logo
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{16,0\pi}{2\pi}=8,0\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: cada ponto da corda completa 8,0 oscilações por segundo.

Passo 7

Calcular a velocidade de propagação v (item d). Podemos usar v=\lambda f ou v=\omega/k. Usando \lambda=25\\ \mathrm{cm} e f=8,0\\ \mathrm{Hz}:
v=\lambda f = 25\\ \mathrm{cm}\times 8,0\\ \mathrm{Hz}=200\\ \mathrm{cm/s}.
Converter para metros por segundo:
200\\ \mathrm{cm/s}=2,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Determinar o sentido de propagação (item e).
A fase da onda é \Phi=kx+\omega t. Constantes de fase satisfazem kx+\omega t=\text{const}, o que leva a
x = -\frac{\omega}{k}t + \text{const}.
Como a posição x de um ponto de mesma fase diminui com t (coeficiente negativo), isso significa que o comportamento de fase se desloca para valores menores de x. Portanto a onda propaga-se no sentido negativo do eixo x (ou seja, para a esquerda, em direção a x decrescente).

Passo 9

Calcular a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda (item f).
Velocidade transversal instantânea de uma partícula (derivada parcial em relação a t, mantendo x fixo):
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos(kx+\omega t).
O valor máximo em módulo ocorre quando \cos(\cdot)=\pm1, então
v_{y,\max}=A\omega.
Substituindo A=5,0\\ \mathrm{cm} e \omega=16,0\pi\\ \mathrm{rad/s}:
v_{y,\max}=5,0\times 16,0\pi =80,0\pi\\ \mathrm{cm/s}.
Valor numérico aproximado usando \pi\approx3,1416:
v_{y,\max}\approx 80,0\times 3,1416=251,3\\ \mathrm{cm/s}=2,513\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Calcular o deslocamento transversal em \,x=2,5\\ \mathrm{cm} e \,t=2,0\\ \mathrm{s} (item g).
Plugamos na equação:
y(2,5,2,0)=5,0\\ \operatorname{sen}\big(0,08\pi\cdot 2,5 + 16,0\pi\cdot 2,0\big).
Calcular os termos:
0,08\pi\cdot 2,5 = 0,2\pi,
16,0\pi\cdot 2,0 = 32,0\pi.
Somando:
0,2\pi + 32,0\pi = 32,2\pi.
Como \sin(\theta+32\pi)=\sin(\theta) (32\pi é múltiplo de 2\pi), temos
\sin(32,2\pi)=\sin(0,2\pi).
Portanto
y(2,5,2,0)=5,0\sin(0,2\pi).
Converter para valor numérico: 0,2\pi rad = 36^\circ e \sin(36^\circ)\approx 0,5878. Logo
y(2,5,2,0)\approx 5,0\times 0,5878 = 2,939\\ \mathrm{cm}\approx 2,94\\ \mathrm{cm}.

Resposta

a) A=5,0\\ \mathrm{cm}
b) \lambda=25\\ \mathrm{cm}
c) f=8,0\\ \mathrm{Hz}
d) v=200\\ \mathrm{cm/s}=2,0\\ \mathrm{m/s}
e) A onda propaga-se no sentido negativo do eixo x (para a esquerda)
f) v_{y,\max}=80,0\pi\\ \mathrm{cm/s}\approx251,3\\ \mathrm{cm/s}=2,513\\ \mathrm{m/s}
g) y(2,5\\ \mathrm{cm},2,0\\ \mathrm{s})=5,0\sin(0,2\pi)\\ \mathrm{cm}\approx2,94\\ \mathrm{cm}

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