3- A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é :
onde
e
estão em centímetros e
em segundos. Determine (justificando):
a) a amplitude,
b) o comprimento de onda,
c) a frequência,
d) a velocidade de propagação da onda,
e) o sentido de propagação da onda e
f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda.
g) Qual é o deslocamento transversal em
para
?
a) a amplitude,
b) o comprimento de onda,
c) a frequência,
d) a velocidade de propagação da onda,
e) o sentido de propagação da onda e
f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda.
g) Qual é o deslocamento transversal em
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (copiando a equação dada):
onde
e
estão em centímetros e
em segundos. O que o exercício pede:
a) a amplitude;
b) o comprimento de onda;
c) a frequência;
d) a velocidade de propagação da onda;
e) o sentido de propagação da onda;
f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda;
g) o deslocamento transversal em para
.
a) a amplitude;
b) o comprimento de onda;
c) a frequência;
d) a velocidade de propagação da onda;
e) o sentido de propagação da onda;
f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda;
g) o deslocamento transversal em
Passo 2
Entender a forma padrão de uma onda senoidal viajante e o significado dos parâmetros. Uma forma comum é
onde:
-
é a amplitude (máxima deflexão transversal), com as mesmas unidades de . -
é o número de onda, medido em radianos por unidade de comprimento; relaciona-se ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular, em rad/s; relaciona-se à frequência por . -
é a fase inicial (deslocamento de fase).
A velocidade de propagação da onda pode ser obtida por
Observação sobre o sinal: se a forma é
a onda move-se no sentido positivo de
; se for
a onda move-se no sentido negativo de
. Vou usar essas relações ao identificar os parâmetros do enunciado.
Passo 3
Identificar os parâmetros na equação dada, comparando com a forma
(note o sinal
antes de
no enunciado):
Da equação
Da equação
temos:
e a fase
. Observação: aqui
está em radianos por centímetro porque
está em centímetros.
Passo 4
Calcular a amplitude (item a).
Pela identificação feita, a amplitude é simplesmente
Pela identificação feita, a amplitude é simplesmente
Interpretação: é a maior distância, em centímetros, que um ponto da corda se afasta da posição de equilíbrio.
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
(item b).
Usamos . Então
Usamos
Cancelar
:
Comentário: o comprimento de onda é a distância, ao longo da corda, entre pontos consecutivos que se movem em fase.
Passo 6
Calcular a frequência
(item c).
Usamos , logo
Usamos
Interpretação: cada ponto da corda completa
oscilações por segundo.
Passo 7
Calcular a velocidade de propagação
(item d). Podemos usar
ou
. Usando
e
:
Converter para metros por segundo:
Passo 8
Determinar o sentido de propagação (item e).
A fase da onda é . Constantes de fase satisfazem
, o que leva a
A fase da onda é
Como a posição
de um ponto de mesma fase diminui com
(coeficiente negativo), isso significa que o comportamento de fase se desloca para valores menores de
. Portanto a onda propaga-se no sentido negativo do eixo
(ou seja, para a esquerda, em direção a
decrescente).
Passo 9
Calcular a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda (item f).
Velocidade transversal instantânea de uma partícula (derivada parcial em relação a , mantendo
fixo):
Velocidade transversal instantânea de uma partícula (derivada parcial em relação a
O valor máximo em módulo ocorre quando
, então
Substituindo
e
:
Valor numérico aproximado usando
:
Passo 10
Calcular o deslocamento transversal em
e
(item g).
Plugamos na equação:
Plugamos na equação:
Calcular os termos:
Somando:
Como
(32\pi é múltiplo de
), temos
Portanto
Converter para valor numérico:
rad =
e
. Logo
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) A onda propaga-se no sentido negativo do eixo (para a esquerda)
f)
g)
b)
c)
d)
e) A onda propaga-se no sentido negativo do eixo
f)
g)