2- Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de
, uma amplitude de
e uma velocidade máxima de
. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco e (c) a frequência da oscilação.
Passo 1
O enunciado pede para determinar três grandezas de um oscilador bloco-mola a partir de dados fornecidos. Perguntas: (a) qual é a constante elástica
? (b) qual é a massa
do bloco? (c) qual é a frequência
da oscilação?
Informações dadas:
(energia mecânica total)
(amplitude)
(velocidade máxima)
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar todas as quantidades em unidades SI coerentes. A amplitude está em centímetros; convertemos para metros porque as fórmulas usam metros:
Só isso já muda nada físico, apenas facilita contas.
Passo 3
Mini-aula: energia num oscilador harmônico simples.
Em um sistema massa-mola sem atrito (oscilador harmônico simples), a energia mecânica total se conserva e é a soma da energia cinética
e da energia potencial elástica
. Em particular, nos extremos do movimento (amplitude) a velocidade é zero e toda a energia é potencial elástica; portanto:
Em um sistema massa-mola sem atrito (oscilador harmônico simples), a energia mecânica total
Aqui:
-
é a energia mecânica total (joules), -
é a constante elástica da mola (newton por metro), -
é a amplitude (metros).
Desse relacionamento podemos isolar
:
Passo 4
Cálculo de
passo a passo. Primeiro calculo
e
:
Agora:
Uma forma rápida:
, logo
Passo 5
Mini-aula: outra expressão útil da energia. No instante em que a massa passa pelo ponto de equilíbrio a energia potencial é zero e a energia total é puramente cinética máxima:
Aqui:
-
é a massa (quilogramas), -
é a velocidade máxima (m/s).
Isolando
:
Passo 6
Cálculo de
passo a passo. Primeiro avalio
e
:
Agora:
Arredondando com senso prático (os dados têm cerca de 3 algarismos significativos), podemos usar
Passo 7
Mini-aula: frequência e pulsação. A velocidade máxima também se relaciona com a amplitude e a pulsação (frequência angular)
por
Assim
A frequência (ciclos por segundo)
relaciona-se com
por
Também vale
; as duas formas são equivalentes e servem para checar consistência.
Passo 8
Cálculo de
e
. Uso a forma direta
:
Agora a frequência:
Checagem rápida usando
: com
e
,
consistente com o resultado acima.