2- Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 2,53 \mathrm{~J}, uma amplitude de 12,5 \mathrm{~cm} e uma velocidade máxima de 2,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco e (c) a frequência da oscilação.

Passo 1

O enunciado pede para determinar três grandezas de um oscilador bloco-mola a partir de dados fornecidos. Perguntas: (a) qual é a constante elástica k? (b) qual é a massa m do bloco? (c) qual é a frequência f da oscilação?
Informações dadas:
\;E = 2,53\\ \mathrm{J} (energia mecânica total)
\;A = 12,5\\ \mathrm{cm} (amplitude)
\;v_{\max} = 2,25\\ \mathrm{m/s} (velocidade máxima)

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar todas as quantidades em unidades SI coerentes. A amplitude está em centímetros; convertemos para metros porque as fórmulas usam metros:
A = 12,5\\ \mathrm{cm} = 0,125\\ \mathrm{m}.
Só isso já muda nada físico, apenas facilita contas.

Passo 3

Mini-aula: energia num oscilador harmônico simples.
Em um sistema massa-mola sem atrito (oscilador harmônico simples), a energia mecânica total E se conserva e é a soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U. Em particular, nos extremos do movimento (amplitude) a velocidade é zero e toda a energia é potencial elástica; portanto:
E = \tfrac{1}{2}kA^{2}.
Aqui:
  • E é a energia mecânica total (joules),
  • k é a constante elástica da mola (newton por metro),
  • A é a amplitude (metros).
Desse relacionamento podemos isolar k:
k = \frac{2E}{A^{2}}.

Passo 4

Cálculo de k passo a passo. Primeiro calculo 2E e A^{2}:
2E = 2\cdot 2,53 = 5,06\\ \mathrm{J},
A^{2} = (0,125)^{2} = 0,015625\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora:
k = \frac{5,06}{0,015625}.
Uma forma rápida: 1/0,015625 = 64, logo k = 5,06\cdot 64 = 323,84\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Mini-aula: outra expressão útil da energia. No instante em que a massa passa pelo ponto de equilíbrio a energia potencial é zero e a energia total é puramente cinética máxima:
E = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^{2}.
Aqui:
  • m é a massa (quilogramas),
  • v_{\max} é a velocidade máxima (m/s).
Isolando m:
m = \frac{2E}{v_{\max}^{2}}.

Passo 6

Cálculo de m passo a passo. Primeiro avalio v_{\max}^{2} e 2E:
v_{\max}^{2} = (2,25)^{2} = 5,0625\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
2E = 5,06\\ \mathrm{J}\quad(\text{já calculado}).á
Agora:
m = \frac{5,06}{5,0625} \approx 0,99951\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com senso prático (os dados têm cerca de 3 algarismos significativos), podemos usar m \approx 1,00\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Mini-aula: frequência e pulsação. A velocidade máxima também se relaciona com a amplitude e a pulsação (frequência angular) \omega por
v_{\max} = A\omega.
Assim
\omega = \frac{v_{\max}}{A}.
A frequência (ciclos por segundo) f relaciona-se com \omega por
f = \frac{\omega}{2\pi}.
Também vale \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}; as duas formas são equivalentes e servem para checar consistência.

Passo 8

Cálculo de \omega e f. Uso a forma direta \omega = v_{\max}/A:
\omega = \frac{2,25}{0,125} = 18\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a frequência:
f = \frac{18}{2\pi} = \frac{9}{\pi} \approx 2,865\\ \mathrm{Hz}.
Checagem rápida usando \omega=\sqrt{k/m}: com k\approx 323,84\\ \mathrm{N/m} e m\approx 0,9995\\ \mathrm{kg},
\sqrt{\frac{k}{m}} \approx \sqrt{324}\approx 18\\ \mathrm{rad/s},
consistente com o resultado acima.

Resposta

k = 323,84\\ \mathrm{N/m}
m = 1,00\\ \mathrm{kg}
f = 2,865\\ \mathrm{Hz}

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