A equação de Laplace tridimensional
é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário
no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional
é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à
da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
Passo 1
A questão pede para mostrar que a função f(x,y,z)=e^{3x+4y},\cos5z satisfaz a equação de Laplace tridimensional
. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e uso da definição da equação de Laplace.
Passo 2
Para começar, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x e a segunda derivada. Note que ao derivar e^{3x+4y},\cos5z em relação a x, o termo \cos5z é constante. Assim temos:
Passo 3
Agora fazemos o mesmo para y. Ao derivar em relação a y, o e^{3x} e \cos5z são constantes, e o coeficiente surge da derivada de e^{4y}:
Passo 4
Por fim, derivamos em relação a z. Agora e^{3x+4y} é constante e usamos a derivada de \cos5z, que dá -5,\sin5z, e depois outra derivada para chegar em \cos5z:
Passo 5
Agora somamos as três segundas derivadas e verificamos se dá zero:
Passo 6
Agrupando o fator comum e^{3x+4y},\cos5z, temos
Passo 7
Como a soma das derivadas de segunda ordem é zero, concluímos que f satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função f(x,y,z)=e^{3x+4y},\cos5z satisfaz a equação de Laplace pois f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}=0.