A equação de Laplace tridimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T=f(x, y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à z da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos 5 z

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função f(x,y,z)=e^{3x+4y},\cos5z satisfaz a equação de Laplace tridimensional fxx+fyy+fzz=0. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e uso da definição da equação de Laplace.

Passo 2

Para começar, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x e a segunda derivada. Note que ao derivar e^{3x+4y},\cos5z em relação a x, o termo \cos5z é constante. Assim temos:
partial fpartial x=3,e^3x+4y,cos5z
partial^2 fpartial x^2=3,partialpartial xl(e^3x+4y,cos5zr)=3cdot3,e^3x+4y,cos5z=9,e^3x+4y,cos5z

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para y. Ao derivar em relação a y, o e^{3x} e \cos5z são constantes, e o coeficiente surge da derivada de e^{4y}:
partial fpartial y=4,e^3x+4y,cos5z
partial^2 fpartial y^2=4cdot4,e^3x+4y,cos5z=16,e^3x+4y,cos5z

Passo 4

Por fim, derivamos em relação a z. Agora e^{3x+4y} é constante e usamos a derivada de \cos5z, que dá -5,\sin5z, e depois outra derivada para chegar em \cos5z:
partial fpartial z=e^3x+4y,(-5,sin5z)=-5,e^3x+4y,sin5z
partial^2 fpartial z^2=-5,partialpartial zl(e^3x+4y,sin5zr)=-5cdot5,e^3x+4y,cos5z=-25,e^3x+4y,cos5z

Passo 5

Agora somamos as três segundas derivadas e verificamos se dá zero:
fxx+fyy+fzz=9,e^3x+4y,cos5z+16,e^3x+4y,cos5z-25,e^3x+4y,cos5z

Passo 6

Agrupando o fator comum e^{3x+4y},\cos5z, temos
e^3x+4y,cos5z,(9+16-25)=e^3x+4y,cos5zcdot0=0

Passo 7

Como a soma das derivadas de segunda ordem é zero, concluímos que f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y,z)=e^{3x+4y},\cos5z satisfaz a equação de Laplace pois f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}=0.

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