A equação de onda unidimensional é:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u(x, t)-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} u(x, t)=0
Prove que uma função u(x, t)=u(x \pm v t) também satisfaz a equação de onda.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t)\;-\;\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}u(x,t)=0
e pede para provar que qualquer função da forma
u(x,t)=f\bigl(x\pm v\,t\bigr)
satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar é o teorema das derivadas parciais em cadeia, aplicando-o duas vezes em x e em t.

Passo 2

Defina
s = x \pm v\,t,
de modo que u(x,t)=f(s). Pela regra da cadeia, a derivada parcial de u em relação a x é
\frac{\partial u}{\partial x} = f'(s)\,\frac{\partial s}{\partial x} = f'(s)\cdot 1 = f'(s).
Derivando de novo em x,
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(f'(s)\bigr) = f''(s)\,\frac{\partial s}{\partial x} = f''(s)\cdot 1 = f''(s).

Passo 3

Agora calcule as derivadas em t. Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial t} = f'(s)\,\frac{\partial s}{\partial t} = f'(s)\,(\pm v) = \pm v\,f'(s).
Derivando novamente em t,
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\pm v\,f'(s)\bigr) = \pm v\,f''(s)\,\frac{\partial s}{\partial t} = \pm v\,f''(s)\,(\pm v) = v^{2}\,f''(s).

Passo 4

Reunindo os resultados, temos
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = f''(s), \qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = v^{2}\,f''(s).
Logo
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \;-\;\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = f''(s)\;-\;\frac{1}{v^{2}}\bigl(v^{2}f''(s)\bigr) = f''(s)-f''(s) =0.
Isso mostra que u(x,t)=f(x\pm v\,t) satisfaz a equação de onda.

Resposta

A função u(x,t)=f(x\pm v\,t) satisfaz
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} -\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=0.

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