Um gás ideal monoatômico de N partículas, cada uma de massa m, está em equilíbrio térmico a temperatura absoluta T. O gás está contido em uma caixa cúbica de lado L, cujos lados superior e inferior sāo paralelos à superfície da Terra. O efeito do campo gravitacional uniforme da Terra sobre as partículas deve ser considerado, sendo a aceleraçāo devido à gravidade \boldsymbol{g}.
(a) Qual é a energia cinética média de uma partícula?
(b) Qual é a energia potencial média de uma partícula?

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal monoatômico de N partículas de massa m, em equilíbrio térmico à temperatura absoluta T, confinado numa caixa cúbica de lado L. Há um campo gravitacional uniforme \boldsymbol{g} na direção vertical z. Vamos calcular
  • (a) a energia cinética média de uma partícula (usando o teorema da equipartição),
  • (b) a energia potencial média de uma partícula (usando a distribuição de Boltzmann em z).

Passo 2

Pela equipartição de energia, cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac12k_{B}T. Uma partícula monoatômica em 3D tem três graus de liberdade de translação. Logo a energia cinética média é
\bigl\langle K\bigr\rangle = \tfrac32\,k_{B}T.

Passo 3

A energia potencial gravitacional de uma partícula a altura z é U(z)=mgz. Em equilíbrio térmico, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em z\in[0,L] é
P(z)\propto e^{-\beta\,mg\,z},\quad \beta=\frac{1}{k_{B}T}.
O fator de normalização (função partição unidimensional) é
Z_{z} =\int_{0}^{L} e^{-\beta\,mg\,z}\,dz =\frac{1 - e^{-\beta\,mg\,L}}{\beta\,mg}.

Passo 4

A altura média vale
\bigl\langle z\bigr\rangle =\frac{1}{Z_{z}}\int_{0}^{L} z\,e^{-\beta\,mg\,z}\,dz =\frac{1}{\beta\,mg} -\frac{L}{e^{\beta\,mg\,L}-1}.
Multiplicando por mg, obtemos a energia potencial média
\bigl\langle U\bigr\rangle =mg\,\bigl\langle z\bigr\rangle =k_{B}T -\frac{mg\,L}{e^{\frac{mg\,L}{k_{B}T}}-1}.

Resposta

(a) \displaystyle \bigl\langle K\bigr\rangle = \tfrac32\,k_{B}T.
(b) \displaystyle \bigl\langle U\bigr\rangle = k_{B}T -\frac{mg\,L}{\exp\!\bigl(\tfrac{mg\,L}{k_{B}T}\bigr)-1}.

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