Uma massa ( m=2,0 \mathrm{~kg} ) presa a uma mola oscila conforme a equação x(t)=5 \cos (4 t). Encontre os valores de:
a) k, T \mathrm{e} f
b) Qual é o máximo deslocamento da massa em relação ao ponto de equilíbrio?
c) Com que velocidade (módulo) a massa passa pelo ponto x=0 ?

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples (MHS) de uma massa m=2{,}0\\ \mathrm{kg} presa a uma mola, cuja posição varia segundo
x(t)=5\cos(4t).
Aqui reconhecemos a forma geral do MHS, x(t)=A\cos(\omega t). Para resolver, vamos usar as fórmulas:
– constante elástica: \displaystyle k=m\,\omega^2,
– período: \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega},
– frequência: \displaystyle f=\frac{1}{T},
– amplitude máxima: A,
– velocidade: v(t)=-A\,\omega\sin(\omega t), sendo que em x=0 atingimos \lvert v\rvert_{\max}=A\,\omega.

Passo 2

Da forma x(t)=A\cos(\omega t) identificamos amplitude e frequência angular:
A=5\\ (\mathrm{m}),\quad \omega=4\\ (\mathrm{rad/s}).

Passo 3

Usando \displaystyle k=m\,\omega^2, obtemos
k=2{,}0\times 4^2=2{,}0\times16=32\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

O período e a frequência são
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{s},
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

O deslocamento máximo em relação ao ponto de equilíbrio é simplesmente a amplitude, ou seja
\max\lvert x\rvert = A = 5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

A velocidade é v(t)=-A\,\omega\sin(\omega t). Quando a massa passa por x=0, temos \cos(\omega t)=0 e \lvert\sin(\omega t)\rvert=1, logo
\lvert v\rvert = A\,\omega = 5\times4 = 20\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) k=32\\ \mathrm{N/m}, T=\tfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{s}, f=\tfrac{2}{\pi}\\ \mathrm{Hz}
b) 5\\ \mathrm{m}
c) 20\\ \mathrm{m/s}

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