A equação do Ondas basica é ft t=fx x. Verifique que f(x, t)=sin (x+t) e f(x, t)=sin (x-t) são soluções. Qual destas ondas se move a dereita e qual a esquerda.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções sin(x+t) e sin(x-t) satisfazem a equação de onda básica
ftt = fxx
e identificar para cada solução a direção de propagação. Para isso vamos usar o critério de derivadas parciais (regra da cadeia) e o fato de que soluções do tipo g(xpm t) representam ondas viajantes.

Passo 2

Considere f(x,t)=sin(x+t). Defina u=x+t.
A derivada parcial em relação a t é
ft = partialpartial tsin(u) = cos(u)cdotpartial upartial t = cos(x+t)cdot1 = cos(x+t)
Aplicando novamente em t,
ftt = partialpartial tcos(x+t) = -sin(x+t)cdot1 = -sin(x+t)
Agora a derivada parcial em relação a x:
fx = partialpartial xsin(x+t) = cos(x+t)cdot1 = cos(x+t),
fxx = partialpartial xcos(x+t) = -sin(x+t)cdot1 = -sin(x+t)
Logo
ftt = -sin(x+t) = fxx,
portanto sin(x+t) é solução da equação de onda.

Passo 3

Agora considere f(x,t)=sin(x-t). Defina v=x-t.
Em t:
ft = partialpartial tsin(v) = cos(v)cdotpartial vpartial t = cos(x-t)cdot(-1) = -cos(x-t),
ftt = partialpartial tl(-cos(x-t)r) = -l(-sin(x-t)cdot(-1)r) = -sin(x-t)
Em x:
fx = partialpartial xsin(x-t) = cos(x-t)cdot1 = cos(x-t),
fxx = partialpartial xcos(x-t) = -sin(x-t)cdot1 = -sin(x-t)
Logo
ftt = -sin(x-t) = fxx,
portanto sin(x-t) também é solução.

Passo 4

Soluções da forma sin(x - t) mantêm x - t = constante, ou seja x = t + cte, o que significa que a crista se desloca para x crescente (direita). Soluções da forma sin(x + t) mantêm x + t = constante, ou seja x = -t + cte, deslocando-se para x decrescente (esquerda).

Resposta

A onda sin(x-t) se move para a direita e a onda sin(x+t) se move para a esquerda.

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