Suponha que ft=fx. Mostre que ft t=fx x.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f(t,x) suficientemente suave (pelo menos de classe C^2) que satisfaz
ft = fx
O conteúdo aqui é o uso de derivadas parciais e do teorema de Clairaut (que garante a igualdade das derivadas mistas para funções C^2). Queremos mostrar que
ftt = fxx

Passo 2

Diferenciamos a identidade ft=fx em relação a t. Isso nos dá
ftt = l(fxr)t = fxt

Passo 3

Como f é C^2, as derivadas mistas comutam, ou seja,
fxt = ftx
Portanto já temos
ftt = ftx

Passo 4

Agora usamos de novo a igualdade original ft=fx, mas aplicada dentro da derivada em x:
ftx = l(ftr)x = l(fxr)x = fxx
Substituindo em ftt=ftx vem
ftt = fxx

Resposta

Está demonstrado que, sob a hipótese ft=fx e fin C^2, segue-se que ftt=fxx.

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