Suponha que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
suficientemente suave (pelo menos de classe
) que satisfaz
O conteúdo aqui é o uso de derivadas parciais e do teorema de Clairaut (que garante a igualdade das derivadas mistas para funções
). Queremos mostrar que
Passo 2
Diferenciamos a identidade
em relação a
. Isso nos dá
Passo 3
Como
é
, as derivadas mistas comutam, ou seja,
Portanto já temos
Passo 4
Agora usamos de novo a igualdade original
, mas aplicada dentro da derivada em
:
Substituindo em
vem
Resposta
Está demonstrado que, sob a hipótese
e
, segue-se que
.