A equação
é dita exata se puder ser escrita na forma:
onde
pode ser determinada em função de
e
.
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Determine a solução da seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial $ x^{2} y’’ + 2x y’ = 0 $. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que a gente vai resolver verificando se ela é exata. Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais exatas e como integrá-las. Vamos precisar usar derivadas e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os termos $ P(x) $, $ Q(x) $ e $ R(x) $. A equação dada é:
Podemos escrever isso como:
Comparando, temos:
Passo 3
Agora, segundo o enunciado, para a equação ser exata, ela deve satisfazer a condição:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando $ P’’(x) $:
Primeiro, achamos $ P’(x) $:
Agora, $ P’’(x) $:
Passo 5
Calculando $ Q’(x) $:
E sabemos que $ R(x) = 0 $.
Passo 6
Juntando tudo na condição de exatidão:
Como a soma não é zero, a equação original não é exata.
Passo 7
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar uma solução de outra forma. Observando a equação original:
Podemos simplificar dividindo por $ x^{2} $ (desde que $ x \neq 0 $):
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Seja $ u = y’ $, então $ u’ = y’’ $. A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando fator integrante.
Passo 9
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração. Então:
Lembrando que $ u = y’ $, temos:
Passo 11
Integrando novamente para encontrar $ y $:
Onde $ C_{2} $ é outra constante de integração.
Resposta
A solução da equação diferencial é $ y = C_{1} - \dfrac{C_{2}}{x^{2}} $.
Portanto, a opção correta é:
$ y=C_{1}-\frac{C_{2}}{x^{2}} $