A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine a solução da seguinte equação diferencial x^2 y^prime prime+2 x y^prime=0
Escolha uma opção:
y=C1 ln x+C2
Nenhuma das demais alternativas
y=C1 e^-x+C2
y=C1 e^x+C2 e^-2 x
y=C1 x+C2x
y=C1-C2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial $ x^{2} y’’ + 2x y’ = 0 $. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que a gente vai resolver verificando se ela é exata. Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais exatas e como integrá-las. Vamos precisar usar derivadas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os termos $ P(x) $, $ Q(x) $ e $ R(x) $. A equação dada é:
P(x)
Podemos escrever isso como:
Q(x)
Comparando, temos:
R(x)

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, para a equação ser exata, ela deve satisfazer a condição:
P''(x) + Q'(x) + R(x) = 0
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando $ P’’(x) $:
Primeiro, achamos $ P’(x) $:
P''(x)
Agora, $ P’’(x) $:
P'(x)

Passo 5

Calculando $ Q’(x) $:
Q'(x)
E sabemos que $ R(x) = 0 $.

Passo 6

Juntando tudo na condição de exatidão:
P''(x) + Q'(x) + R(x) = 2 + 2 + 0 = 4 neq 0
Como a soma não é zero, a equação original não é exata.

Passo 7

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar uma solução de outra forma. Observando a equação original:
x^2 y'' + 2x y' = 0
Podemos simplificar dividindo por $ x^{2} $ (desde que $ x \neq 0 $):
x^2

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Seja $ u = y’ $, então $ u’ = y’’ $. A equação fica:
u = y'
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando fator integrante.

Passo 9

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2
Isso pode ser reescrito como:
mu(x)

Passo 10

Integrando ambos os lados:
x^2 u = C1
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração. Então:
C1
Lembrando que $ u = y’ $, temos:
u = C1x^2

Passo 11

Integrando novamente para encontrar $ y $:
y
Onde $ C_{2} $ é outra constante de integração.

Resposta

A solução da equação diferencial é $ y = C_{1} - \dfrac{C_{2}}{x^{2}} $.
Portanto, a opção correta é:
$ y=C_{1}-\frac{C_{2}}{x^{2}} $

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