A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
y^prime prime+x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação dada é exata, usando a condição
P''(x)+Q'(x)+R(x)=0
e depois concluir se ela pode ser escrita na forma exata.

Passo 2

Aqui temos a equação
y'' + x,y' = 0
Então identificamos
P(x)=1, Q(x)=x, R(x)=0

Passo 3

Agora calculamos as derivadas necessárias:
P''(x)=0, Q'(x)=1, R(x)=0
Substituindo na condição de exatidão:
P''(x)+Q'(x)+R(x)=0+1+0=1

Passo 4

Como o resultado deu 1 e não zero, a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto a equação não pode ser escrita na forma exata dada no enunciado.

Resposta

A equação y''+x,y'=0 não é exata.

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