Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 5 x-3 y-2 z=2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) (1,-1,5)+t(-10,0,-18)+s(0,3,-6)
(B) (1,-1,3)+t(-8,0,-20)+s(0,-6,9)
(C) (-1,1,-5)+t(-6,0,-22)+s(0,5,-8)
(D) (1,-1,3)+t(-6,0,-22)+s(0,5,-8)
(E) (-1,1,-5)+t(-10,0,-18)+s(0,3,-6)
(F) (1,-1,5)+t(-8,0,-20)+s(0,-6,9)

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 5x - 3y - 2z = 2\}
Isto significa encontrar um ponto (x_0,y_0,z_0) que satisfaça a equação do plano e dois vetores diretores \mathbf v e \mathbf w que sejam ortogonais ao vetor normal \mathbf n = (5,-3,-2).

Passo 2

As condições a verificar são:
  1. O ponto (x_0,y_0,z_0) deve satisfazer
5x_0 - 3y_0 - 2z_0 = 2.
  1. Cada vetor diretor \mathbf v=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf w=(w_x,w_y,w_z) deve obedecer
\mathbf n\cdot\mathbf v = 5v_x - 3v_y - 2v_z = 0, \quad \mathbf n\cdot\mathbf w = 5w_x - 3w_y - 2w_z = 0.

Passo 3

Verificamos primeiro quais pontos-base satisfazem a equação do plano:
Para (1,-1,5) (opções A e F):
5\cdot 1 - 3\cdot(-1) - 2\cdot 5 = 5 + 3 - 10 = -2 \neq 2,
logo A e F são eliminadas.
Para (1,-1,3) (B e D) e (-1,1,-5) (C e E) o cálculo
5x_0 - 3y_0 - 2z_0 = 2
é satisfeito, de modo que B, C, D e E seguem para a próxima etapa.

Passo 4

Checamos os vetores diretores das candidatas restantes:
Na opção B temos
\mathbf v_1 = (-8,0,-20) e \mathbf v_2 = (0,-6,9). Calcula‐se
5(-8) - 3\cdot 0 - 2(-20) = -40 + 40 = 0,
5\cdot 0 - 3(-6) - 2\cdot 9 = 18 - 18 = 0.
Em C, D e E o produto escalar do primeiro vetor diretor com \mathbf n não zera, portanto são inválidas.

Resposta

A parametrização correta é a da alternativa (B).

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