Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-12 x-24 y-16 z=-4, \\\\ -5 x-40 z=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}40 x+35 y+5 z=30, \\\\ -24 x-21 y-3 z=-18 .\end{array}\right.
(B) \quad\left\{\begin{array}{r}9 y+12 z=6, \\\\ 12 y+16 z=8 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}x+6 y+7 z=8, \\\\ 2 x+4 y=9, \\\\ 10 x+20 y=45 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{aligned}-32 x-28 y-4 z & =-24, \\\\ -10 x-20 y & =-45 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}5 x+30 y+35 z=40, \\\\ -3 x-18 y-21 z=-24 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{aligned} 8 x+7 y+z & =6, \\\\ 3 y+4 z & =2, \\\ y & =9 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}40 x+35 y+5 z=30, \\\\ -6 x-12 y=-27 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}3 x+6 y+4 z=1, \\\ x+8 z=3, \\\\ -5 x-40 z=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-32 x-28 y-4 z=-24, \\\\ -15 y-20 z=-10, \\\ y=9 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}8 x+7 y+z=6, \\\\ -32 x-28 y-4 z=-24, \\\\ 3 y+4 z=2 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-40 x-35 y-5 z & =-30, \\\\ -8 x-16 y & =-36 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta seis opções, cada uma com dois sistemas lineares em (x,y,z), e pede em qual opção ambos os sistemas têm conjunto-solução de dimensão 1, ou seja, são retas em \mathbb{R}^3. Sabemos que, para um sistema consistente de n incógnitas, a dimensão do espaço solução é
\dim = n - \mathrm{rank}(A).
Aqui n=3, então queremos \mathrm{rank}(A)=2 nos dois sistemas de cada opção.

Passo 2

Opção (A):
Sistema 1
\begin{cases} -12x-24y-16z=-4,\\\\ -5x-40z=-15. \end{cases}
Essas duas equações são independentes, logo \mathrm{rank}=2\) e há reta de soluções. Sistema 2 \[\begin{cases} 40x+35y+5z=30,\\\\ -24x-21y-3z=-18. \end{cases}
Note que -24x-21y-3z=-18\] é \(-0,6 vezes 40x+35y+5z=30. Há só uma equação efetiva, \mathrm{rank}=1, dando dimensão 3-1=2. Falha.

Passo 3

Opção (B):
Sistema 1
\begin{cases} 9y+12z=6,\\\\ 12y+16z=8. \end{cases}
A segunda é \tfrac{4}{3} vezes a primeira, logo \mathrm{rank}=1 e dimensão 2. Falha.

Passo 4

Opção (C):
Sistema 1
\begin{cases} -32x-28y-4z=-24,\\\\ -10x-20y=-45. \end{cases}
Duas equações independentes, \mathrm{rank}=2\), reta de soluções. Sistema 2 \[\begin{cases} 5x+30y+35z=40,\\\\ -3x-18y-21z=-24. \end{cases}
A segunda é -0,6\] vezes a primeira, então \(\mathrm{rank}=1 e dimensão 2. Falha.

Passo 5

Opção (D):
Sistema 1
\begin{cases} 8x+7y+z=6,\\\\ 3y+4z=2,\\\ y=9. \end{cases}
Resolve-se unicamente (x,y,z), \mathrm{rank}=3, dimensão 0. Falha.

Passo 6

Opção (E):
Sistema 1
\begin{cases} 3x+6y+4z=1,\\\ x+8z=3,\\\\ -5x-40z=-15. \end{cases}
A última é -5\) vezes a segunda, sobram duas equações independentes, \(\mathrm{rank}=2\), reta. Sistema 2 \[\begin{cases} -32x-28y-4z=-24,\\\\ -15y-20z=-10,\\\ y=9. \end{cases}
As três fixam (x,y,z)\] de modo único, \(\mathrm{rank}=3, dimensão 0. Falha.

Passo 7

Opção (F):
Sistema 1
\begin{cases} 8x+7y+z=6,\\\\ -32x-28y-4z=-24,\\\\ 3y+4z=2. \end{cases}
A segunda é -4\) vezes a primeira, sobram duas equações independentes, \(\mathrm{rank}=2\), reta de soluções. Sistema 2 \[\begin{cases} -40x-35y-5z=-30,\\\\ -8x-16y=-36. \end{cases}
As duas são independentes ( z\] aparece só na primeira), \(\mathrm{rank}=2 e, checando consistência, há reta de soluções.

Resposta

(F)

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