Q3: Sabendo que o ponto (-3,3,-5, k) pertence ao plano (1,3,-1,-2)+\operatorname{span}\{(-1,-3,-3,2),(-3,3,-1,3)\}, assinale o valor de k :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado pede o valor de k tal que o ponto P=(-3,3,-5,k) pertence ao plano afim em \mathbb R^4 dado por
P_0 + \span\{v_1,v_2\},
onde
P_0=(1,3,-1,-2),\quad v_1=(-1,-3,-3,2),\quad v_2=(-3,3,-1,3).
O conteúdo usado é geometria analítica vetorial: expressar P como combinação afim de P_0,v_1,v_2 e resolver para os escalares.

Passo 2

Supondo que existam escalares a,b\) tais que \[P_0 + a\,v_1 + b\,v_2 = P,
escrevemos coordenada a coordenada o sistema
\begin{cases} 1 - a - 3b = -3,\\\\ 3 - 3a + 3b = 3,\\\\ -1 - 3a - b = -5. \end{cases}
Esse sistema determina os valores de a\] e \(b.

Passo 3

Da segunda equação obtém-se
-3a + 3b = 0\;\Rightarrow\;a=b.
Substituindo em
1 - a - 3b = -3\;\Rightarrow\;1 - 4b = -3\;\Rightarrow\;4b = 4\;\Rightarrow\;b = 1,
logo a = 1. Verifica-se na terceira equação que
-1 - 3\cdot1 - 1 = -5,
está consistente.

Passo 4

Agora usamos a=1 e b=1 na quarta coordenada:
-2 + 2a + 3b = k \;\Rightarrow\;-2 + 2\cdot1 + 3\cdot1 = k \;\Rightarrow\;k = 3.

Resposta

3 \;(alternativa D)

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