Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 7 x-2 y+5 z=-3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1, \frac{16}{5}\right)+t(-15,0,21)+s(0,-20,-8)
(B) \left(1,-1,-\frac{12}{5}\right)+t(-16,0,22)+s(0,-7,-7)
(C) \left(-1,1, \frac{6}{5}\right)+t(-15,0,21)+s(0,-20,-8)
(D) \left(-1,1, \frac{16}{5}\right)+t(-18,0,24)+s(0,-12,-2)
(E) \left(-1,1, \frac{6}{5}\right)+t(-16,0,22)+s(0,-7,-7)
(F) \left(1,-1,-\frac{12}{5}\right)+t(-18,0,24)+s(0,-12,-2)

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 7x-2y+5z=-3\},
usando parâmetros s,t\in\mathbb{R}. Para isso precisamos de um ponto P=(p_x,p_y,p_z) que satisfaça a equação do plano e de dois vetores diretores \mathbf{v},\mathbf{w} que sejam ortogonais ao vetor normal desse plano.

Passo 2

O vetor normal do plano é
\mathbf{n}=(7,\,-2,\,5),
logo qualquer ponto P=(p_x,p_y,p_z) da forma paramétrica deve satisfazer
7p_x-2p_y+5p_z=-3,
e quaisquer vetores \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z) que sirvam de diretores devem obedecer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=7v_x-2v_y+5v_z=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=7w_x-2w_y+5w_z=0.

Passo 3

Analisando as alternativas:
(A) Ponto (-1,1,\tfrac{16}{5}):
7(-1)-2(1)+5\bigl(\tfrac{16}{5}\bigr)=-7-2+16=7\neq -3,
portanto falha.
(B) Ponto (1,-1,-\tfrac{12}{5}) satisfaz a equação, mas o vetor (-16,0,22)
7(-16)+5(22)=-112+110=-2\neq0,
logo não é ortogonal a \mathbf{n}.
(C) Ponto (-1,1,\tfrac{6}{5}):
7(-1)-2(1)+5\bigl(\tfrac{6}{5}\bigr)=-7-2+6=-3,
e os vetores \mathbf{v}=(-15,0,21), \mathbf{w}=(0,-20,-8) satisfazem
7(-15)+5(21)=-105+105=0,
-2(-20)+5(-8)=40-40=0.
Tudo coerente.
(D), (E) e (F) ou têm ponto que não satisfaz ou vetores que não são ortogonais a \mathbf{n}.

Resposta

(C)

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