Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}9 x+y+5 z=8, \\\\ 2 y+8 z=5, \\\\ -10 y-40 z=-25 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-28 x-32 y-8 z=-36, \\\\ -25 x-5 y=-20, \\\ x=6 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}7 x+8 y+2 z=9, \\\\ -28 x-32 y-8 z=-36, \\\\ 5 x+y=4 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-35 x-40 y-10 z & =-45, \\\\ -4 x-16 z & =-24 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{aligned}-36 x-4 y-20 z & =-32, \\\\ -10 y-40 z & =-25 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}21 x+24 y+6 z=27, \\\\ -21 x-24 y-6 z=-27 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{aligned}-28 x-32 y-8 z & =-36, \\\\ -5 x-20 z & =-30 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}27 x+21 y+24 z=6, \\\\ -27 x-21 y-24 z=-6 .\end{array}\right.
(E) \quad\left\{\begin{array}{r}7 x+8 y+2 z=9, \\\\ 5 x+y=4, \\\ x=6 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}21 x+24 y+6 z=27, \\\\ -3 x-12 z=-18 .\end{array}\right.
(F) \quad\left\{\begin{array}{l}20 x+4 y=16, \\\\ 25 x+5 y=20 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}9 x+7 y+8 z=2, \\\ x+4 z=6, \\\\ 3 x+12 z=18 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta seis opções, cada uma com dois sistemas lineares em (x,y,z). Queremos escolher a opção em que os dois sistemas tenham conjunto-solução de dimensão 1, isto é, sejam retas em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Para um sistema linear em três variáveis, a dimensão do espaço de soluções (se consistente) é
\dim = 3 - \rank(A),
onde A é a matriz dos coeficientes. Logo, queremos \rank(A)=2 e consistência em ambos os sistemas de uma mesma opção.
Aqui o terceiro é -5\) vezes o segundo (e o RHS também), então só há duas equações independentes envolvendo \(x,y,z\), \(\rank=2\) e \(\dim=1\).
Sistema 2 em A:
\[\begin{cases} -28x-32y-8z=-36,\\\\ -25x-5y=-20,\\\ x=6. \end{cases}
As três equações determinam x,y,z\] unicamente \(\rank=3, logo \dim=0. Portanto A falha.
A segunda é -4\) vezes a primeira (com RHS \(-36=-4\cdot9\)), sobra um sistema de duas equações independentes, \(\rank=2\) e \(\dim=1\).
Sistema 2 em B:
\[\begin{cases} -35x-40y-10z=-45,\\\\ -4x-16z=-24. \end{cases}
Essas duas não são múltiplas uma da outra (a segunda não envolve y\]), logo \(\rank=2 e \dim=1. Ambos são consistentes e têm dimensão 1.
Passo 5
Verifica-se rapidamente que nas opções C, D, E e F pelo menos um dos sistemas não tem \rank=2 (ou é inconsistente), daí sua dimensão não é 1.