Q3: Sabendo que o ponto ( -9,6,2, k ) pertence ao plano (-2,-1,2,-2)+\operatorname{span}\{(-3,1,-2,-2),(2,-3,-1,-3)\}, assinale o valor de k :
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede o valor de k tal que o ponto
(-9,6,2,k)
pertence ao plano afim em \mathbb{R}^4 definido por
(-2,-1,2,-2)+\span\{(-3,1,-2,-2),\,(2,-3,-1,-3)\}.
O conteúdo aqui é verificação de pertencimento a um plano afim em \mathbb{R}^4, o que se faz expressando o ponto como ponto‐base mais combinação linear dos vetores diretores.

Passo 2

Escrevemos a condição de pertencimento: existem escalares \alpha,\beta tais que
(-9,6,2,k) = (-2,-1,2,-2) +\alpha\,(-3,1,-2,-2) +\beta\,(2,-3,-1,-3).

Passo 3

Separando coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} -9 = -2 -3\alpha + 2\beta,\\\\ 6 = -1 + \alpha - 3\beta,\\\\ 2 = 2 -2\alpha - \beta,\\\ k = -2 -2\alpha - 3\beta. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem
0 = -2\alpha - \beta \quad\Longrightarrow\quad \beta = -2\alpha.
Substituindo na segunda:
7 = \alpha -3(-2\alpha) = 7\alpha \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 1,
logo \beta = -2. Confirma-se na primeira: -2 -3\cdot1 +2\cdot(-2) = -2 -3 -4 = -9, OK.

Passo 5

Calculamos k pela última equação:
k = -2 -2\alpha -3\beta = -2 -2\cdot1 -3\cdot(-2) = -2 -2 +6 = 2.

Resposta

2

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