Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e dá três equações em quatro incógnitas. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Equações fornecidas:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] 2x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}
O que é pedido: encontrar todos os vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfazem essas três equações, usando eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). Todas as informações necessárias estão nas equações acima.]

Passo 2

Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; as colunas são as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a coluna final é o termo independente, aqui todos zeros). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 6 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 4 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].
Breve explicação didática: representar o sistema como matriz aumentada permite aplicar operações por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra) para transformar a matriz em uma forma mais simples de onde lemos as soluções. O objetivo é obter zeros abaixo (e, se quisermos Gauss–Jordan, também acima) dos pivôs para triangular/diagonalizar a matriz.]

Passo 3

Primeiro passo do método de Gauss: usar a primeira linha como pivô e eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (entrada na coluna de x_{1}). Faço as operações:
R_2\leftarrow R_2-3R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-2R_1.
Calculo linha a linha:
  • R_2-3R_1: [3,6,3,1]-3[1,2,1,0]=[3-3,\,6-6,\,3-3,\,1-0]=[0,0,0,1].
  • R_3-2R_1: [2,4,2,1]-2[1,2,1,0]=[2-2,\,4-4,\,2-2,\,1-0]=[0,0,0,1].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretação das linhas obtidas:
  • A primeira linha continua representando \;x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.
  • A segunda linha agora é \;0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+1x_{4}=0, ou seja \;x_{4}=0.
  • A terceira linha é idêntica à segunda ( 0=0 nas primeiras três colunas e 1\cdot x_{4}=0), portanto não traz informação nova (é redundante).
Como temos já \;x_{4}=0, podemos substituir esse valor nas equações restantes. A única equação não-trivial que resta envolvendo x_{1},x_{2},x_{3} é
x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.

Passo 5

Agora vamos descrever a solução geral. Da equação \;x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0 isolamos x_{1}:
x_{1}=-2x_{2}-x_{3}.
Já sabemos que
x_{4}=0.
Como o sistema tem 4 incógnitas e só duas equações independentes efetivas (a primeira e a que fixou x_{4}), haverá dois graus de liberdade (dois parâmetros livres). É conveniente tomar x_{2} e x_{3} como parâmetros livres. Denotemos
x_{2}=s,\qquad x_{3}=t,\qquad\text{com }s,t\in\mathbb{R}.
Então
x_{1}=-2s-t,\qquad x_{4}=0.

Passo 6

Escrevendo a solução em forma vetorial e em combinação linear (forma que ajuda na prova e no entendimento):
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2s-t\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] 0\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.
Explicação final didática: isso significa que o conjunto de soluções é um subespaço afim que passa pela origem (aqui na verdade é um subespaço linear) gerado pelos dois vetores acima; intuitivamente, qualquer combinação linear desses dois vetores dá uma solução, e não há outras soluções.]

Resposta

\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(-2s-t,\;s,\;t,\;0),\quad s,t\in\mathbb{R}

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