Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear e dá três equações em quatro incógnitas. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
O que é pedido: encontrar todos os vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfazem essas três equações, usando eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). Todas as informações necessárias estão nas equações acima.]
Passo 2
Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; as colunas são as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a coluna final é o termo independente, aqui todos zeros). A matriz aumentada é
Breve explicação didática: representar o sistema como matriz aumentada permite aplicar operações por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra) para transformar a matriz em uma forma mais simples de onde lemos as soluções. O objetivo é obter zeros abaixo (e, se quisermos Gauss–Jordan, também acima) dos pivôs para triangular/diagonalizar a matriz.]
Passo 3
Primeiro passo do método de Gauss: usar a primeira linha como pivô e eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (entrada na coluna de x_{1}). Faço as operações:
A primeira linha continua representando \;x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.
A segunda linha agora é \;0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+1x_{4}=0, ou seja \;x_{4}=0.
A terceira linha é idêntica à segunda (0=0 nas primeiras três colunas e 1\cdot x_{4}=0), portanto não traz informação nova (é redundante).
Como temos já \;x_{4}=0, podemos substituir esse valor nas equações restantes. A única equação não-trivial que resta envolvendo x_{1},x_{2},x_{3} é
x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.
Passo 5
Agora vamos descrever a solução geral. Da equação \;x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0 isolamos x_{1}:
x_{1}=-2x_{2}-x_{3}.
Já sabemos que
x_{4}=0.
Como o sistema tem 4 incógnitas e só duas equações independentes efetivas (a primeira e a que fixou x_{4}), haverá dois graus de liberdade (dois parâmetros livres). É conveniente tomar x_{2} e x_{3} como parâmetros livres. Denotemos
Explicação final didática: isso significa que o conjunto de soluções é um subespaço afim que passa pela origem (aqui na verdade é um subespaço linear) gerado pelos dois vetores acima; intuitivamente, qualquer combinação linear desses dois vetores dá uma solução, e não há outras soluções.]