Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-3 x-2 y+3 z=7\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} sāo parâmetros, é:
(A) \left(1,-1, \frac{17}{3}\right)+t(12,0,12)+s(0,6,4)
(B) \left(1,-1, \frac{17}{3}\right)+t(9,0,15)+s(0,-10,-10)
(C) \left(1,-1, \frac{8}{3}\right)+t(15,0,9)+s(0,-14,-6)
(D) \left(1,-1, \frac{8}{3}\right)+t(9,0,15)+s(0,-10,-10)
(E) (-1,1,2)+t(15,0,9)+s(0,-14,-6)
(F) (-1,1,2)+t(12,0,12)+s(0,6,4)

Passo 1

O enunciado dá o plano definido por -3x-2y+3z=7 e solicita qual das alternativas (A) a (F) fornece uma equação paramétrica desse plano na forma “ponto + t·vetor1 + s·vetor2”, com s,t\in\mathbb{R}. As alternativas fornecem pares de vetores diretores e um ponto em cada caso. Vou usar essas informações das alternativas para testar qual delas realmente representa o plano.
Informações relevantes do enunciado:
  • Equação do plano: -3x-2y+3z=7.
  • Cada alternativa é da forma \text{ponto} + t\cdot\text{vetor}_1 + s\cdot\text{vetor}_2.
  • Objetivo: escolher a alternativa correta (uma e somente uma).

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): uma parametrização do tipo \mathbf{r}=\mathbf{p}+t\mathbf{u}+s\mathbf{v} descreve um plano se e somente se:
  1. O ponto \mathbf{p} pertence ao plano (isto é, satisfaz a equação do plano).
  2. Os vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v} estão no plano, o que equivale a dizer que eles são ortogonais ao vetor normal do plano.
Aqui vou calcular o vetor normal do plano e usar o produto escalar para testar a ortogonalidade. O vetor normal da equação -3x-2y+3z=7 é
\mathbf{n}=(-3,-2,3).
Lembrete sobre produto escalar: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Um vetor \mathbf{v} está no plano se e somente se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0.
Vou testar cada alternativa em dois passos: (i) verificar se o ponto satisfa z a equação do plano; (ii) verificar se ambos os vetores diretores são ortogonais a \mathbf{n}. Se ambos os testes passarem e os dois vetores não forem múltiplos entre si (independência linear), a alternativa é válida.

Passo 3

Alternativa (A): ponto \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{17}{3}), vetores \mathbf{u}=(12,0,12), \mathbf{v}=(0,6,4).
Verificar ponto no plano:
-3\cdot 1 -2\cdot(-1) +3\cdot\frac{17}{3} = -3+2+17 = 16 \neq 7.
Portanto o ponto não pertence ao plano, logo (A) é inválida.

Passo 4

Alternativa (B): ponto \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{17}{3}) (mesmo ponto de A), vetores \mathbf{u}=(9,0,15), \mathbf{v}=(0,-10,-10).
O ponto é o mesmo que em (A), já vimos que não satisfaz a equação do plano ( 16\neq7). Logo (B) é inválida sem necessidade de checar os vetores.

Passo 5

Alternativa (C): ponto \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{8}{3}), vetores \mathbf{u}=(15,0,9), \mathbf{v}=(0,-14,-6).
Verificar ponto no plano:
-3\cdot 1 -2\cdot(-1) +3\cdot\frac{8}{3} = -3+2+8 = 7,
portanto o ponto está no plano (bom). Agora verificar vetores:
Produto escalar com \mathbf{u}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=(-3,-2,3)\cdot(15,0,9) = -3\cdot15 + (-2)\cdot 0 + 3\cdot9 = -45 +0 +27 = -18 \neq 0.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}\neq0, \mathbf{u} não está no plano. Logo (C) é inválida.

Passo 6

Alternativa (D): ponto \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{8}{3}), vetores \mathbf{u}=(9,0,15), \mathbf{v}=(0,-10,-10).
O ponto já verificamos que pertence ao plano. Teste de ortogonalidade:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=(-3,-2,3)\cdot(9,0,15) = -27 +0 +45 = 18 \neq 0.
Portanto \mathbf{u} não está no plano e (D) é inválida.

Passo 7

Alternativa (E): ponto \mathbf{p}=(-1,1,2), vetores \mathbf{u}=(15,0,9), \mathbf{v}=(0,-14,-6).
Verificar ponto no plano:
-3\cdot(-1) -2\cdot 1 +3\cdot 2 = 3 -2 +6 = 7,
portanto o ponto pertence ao plano. Teste dos vetores:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=(-3,-2,3)\cdot(15,0,9) = -45 +0 +27 = -18 \neq 0.
Logo \mathbf{u} não está no plano; (E) é inválida.

Passo 8

Alternativa (F): ponto \mathbf{p}=(-1,1,2), vetores \mathbf{u}=(12,0,12), \mathbf{v}=(0,6,4).
Verificar ponto no plano (já fizemos para (-1,1,2) em (E), deu 7), então o ponto está no plano. Agora os produtos escalares:
Com \mathbf{u}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=(-3,-2,3)\cdot(12,0,12) = -36 +0 +36 = 0.
Com \mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=(-3,-2,3)\cdot(0,6,4) = 0 -12 +12 = 0.
Ambos vetores são ortogonais a \mathbf{n}, portanto estão no plano. Falta checar que \mathbf{u} e \mathbf{v} não são múltiplos um do outro (independência linear): observe que \mathbf{u}=(12,0,12) tem componente na posição 1 diferente de zero enquanto \mathbf{v}=(0,6,4) tem essa componente igual a zero; logo não são múltiplos escalares. Portanto são linearmente independentes e geram o plano.
Assim (F) satisfaz os requisitos e é uma parametrização válida do plano.

Passo 9

Comentário adicional (como fazer na prova, passo-a-passo): uma forma direta de encontrar uma parametrização é escolher duas coordenadas livres, por exemplo y=s e z=t, e resolver para x:
-3x-2s+3t=7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-7-2s+3t}{3}.
Isso dá
\mathbf{r}(s,t)=\left(\frac{-7}{3},0,0\right) + s\left(\frac{-2}{3},1,0\right) + t\left(1,0,1\right).
Qualquer outra parametrização válida é obtida escolhendo outro ponto da mesma superfície e dois vetores diretores que estejam no plano (ou seja, ortogonais ao normal). No caso da alternativa (F), o ponto (-1,1,2) e os vetores dados satisfazem exatamente essas condições (ver Passo 8). Uma técnica rápida na prova: sempre checar (i) se o ponto satisfaz a equação do plano e (ii) se os vetores são ortogonais ao vetor normal pelo produto escalar — isso resolve várias alternativas sem trabalho pesado.

Resposta

(F)

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