Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
sāo parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano definido por
e solicita qual das alternativas (A) a (F) fornece uma equação paramétrica desse plano na forma “ponto + t·vetor1 + s·vetor2”, com
. As alternativas fornecem pares de vetores diretores e um ponto em cada caso. Vou usar essas informações das alternativas para testar qual delas realmente representa o plano.
Informações relevantes do enunciado:
- Equação do plano:
. - Cada alternativa é da forma
. - Objetivo: escolher a alternativa correta (uma e somente uma).
Passo 2
Ideia-chave (sem resolver ainda): uma parametrização do tipo
descreve um plano se e somente se:
- O ponto
pertence ao plano (isto é, satisfaz a equação do plano). - Os vetores diretores
e estão no plano, o que equivale a dizer que eles são ortogonais ao vetor normal do plano.
Aqui vou calcular o vetor normal do plano e usar o produto escalar para testar a ortogonalidade. O vetor normal da equação
é
Lembrete sobre produto escalar: se
e
, então
Um vetor
está no plano se e somente se
.
Vou testar cada alternativa em dois passos: (i) verificar se o ponto satisfa z a equação do plano; (ii) verificar se ambos os vetores diretores são ortogonais a
. Se ambos os testes passarem e os dois vetores não forem múltiplos entre si (independência linear), a alternativa é válida.
Passo 3
Alternativa (A): ponto
, vetores
,
.
Verificar ponto no plano:
Portanto o ponto não pertence ao plano, logo (A) é inválida.
Passo 4
Alternativa (B): ponto
(mesmo ponto de A), vetores
,
.
O ponto é o mesmo que em (A), já vimos que não satisfaz a equação do plano (
). Logo (B) é inválida sem necessidade de checar os vetores.
Passo 5
Alternativa (C): ponto
, vetores
,
.
Verificar ponto no plano:
portanto o ponto está no plano (bom). Agora verificar vetores:
Produto escalar com
:
Como
,
não está no plano. Logo (C) é inválida.
Passo 6
Alternativa (D): ponto
, vetores
,
.
O ponto já verificamos que pertence ao plano. Teste de ortogonalidade:
Portanto
não está no plano e (D) é inválida.
Passo 7
Alternativa (E): ponto
, vetores
,
.
Verificar ponto no plano:
portanto o ponto pertence ao plano. Teste dos vetores:
Logo
não está no plano; (E) é inválida.
Passo 8
Alternativa (F): ponto
, vetores
,
.
Verificar ponto no plano (já fizemos para
em (E), deu
), então o ponto está no plano. Agora os produtos escalares:
Com
:
Com
:
Ambos vetores são ortogonais a
, portanto estão no plano. Falta checar que
e
não são múltiplos um do outro (independência linear): observe que
tem componente na posição 1 diferente de zero enquanto
tem essa componente igual a zero; logo não são múltiplos escalares. Portanto são linearmente independentes e geram o plano.
Assim (F) satisfaz os requisitos e é uma parametrização válida do plano.
Passo 9
Comentário adicional (como fazer na prova, passo-a-passo): uma forma direta de encontrar uma parametrização é escolher duas coordenadas livres, por exemplo
e
, e resolver para
:
Isso dá
Qualquer outra parametrização válida é obtida escolhendo outro ponto da mesma superfície e dois vetores diretores que estejam no plano (ou seja, ortogonais ao normal). No caso da alternativa (F), o ponto
e os vetores dados satisfazem exatamente essas condições (ver Passo 8). Uma técnica rápida na prova: sempre checar (i) se o ponto satisfaz a equação do plano e (ii) se os vetores são ortogonais ao vetor normal pelo produto escalar — isso resolve várias alternativas sem trabalho pesado.
Resposta
(F)