Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] \text { . }
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
III. Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
A) Só II é verdadeira.
B) Só II e III são verdadeiras.
C) Só III é verdadeira.
D) Só I e III são verdadeiras.
E) Todas são verdadeiras.
F) Todas são falsas.
G) Só I é verdadeira.
H) Só I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto de vetores \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{5} e duas matrizes aumentadas que representam sistemas lineares:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right].
O enunciado pede que se avalie a veracidade das três afirmativas:
I. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
III. Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
As informações relevantes que temos são apenas as definições dos sistemas acima (ou seja, S_{1} é o sistema homogêneo com colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 e S_{2} é o sistema não-homogêneo cujo coeficiente tem colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2 e vetor termo independente \vec{v}_3) e a hipótese de \beta ser LI ou LD nas diferentes afirmativas.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição e consequências básicas (aula rápida e direta, sem pular passos):
Definição de linearmente independente (LI): o conjunto \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI se, sempre que
\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\alpha_3\vec{v}_3=\overrightarrow{0},
temos \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Caso contrário o conjunto é linearmente dependente (LD): existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero.
Consequência importante: se um conjunto com três vetores é LI, então qualquer subconjunto (por exemplo \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}) também é LI. A razão: se \beta é LI e \beta satisfaz a condição de definição, uma combinação linear apenas com \vec{v}_1,\vec{v}_2 que dê zero pode ser vista como uma combinação com coeficiente zero para \vec{v}_3, e pela definição todos os coeficientes devem ser zero.
Outra conexão com sistemas lineares:
  • Para um sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}, onde as colunas de A são \vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k, ter única solução (a solução trivial) é equivalente às colunas serem LI.
  • Para um sistema não-homogêneo A\vec{x}=\vec{b} (aqui A tem colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2 e \vec{b}=\vec{v}_3), a existência e unicidade da solução dependem de:
    • existência: se e somente se \vec{b}\in\mathrm{span}\{\text{colunas de }A\};
    • unicidade: se as colunas de A são LI (então, quando existe, a solução é única); se as colunas são LD e existe solução, então há infinidade de soluções.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
Como \beta é LI, pelo que dissemos no passo anterior, o par \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} também é LI. Agora, S_{2} corresponde a resolver
a\vec{v}_1+b\vec{v}_2=\vec{v}_3
procurando (a,b). Se \beta é LI, \vec{v}_3 não pertence a \mathrm{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} (pois isso criaria uma combinação linear não trivial entre \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3). Portanto não existe nenhum par (a,b) que resolva a equação: o sistema S_{2} é inconsistente (sem solução). Assim a conclusão “tem solução única” é falsa — na verdade é sem solução. Podemos escrever a contradição formal: se existisse (a,b) tal que a\vec{v}_1+b\vec{v}_2=\vec{v}_3, então
a\vec{v}_1+b\vec{v}_2-1\cdot\vec{v}_3=\overrightarrow{0}
seria uma combinação linear não trivial das três colunas, contradizendo a LI. Logo I é falsa.
Um exemplo numérico rápido para visualizar: tome
\vec{v}_1=(1,0,0,0,0),\quad \vec{v}_2=(0,1,0,0,0),\quad \vec{v}_3=(0,0,1,0,0).
Aqui \beta é LI, e claramente não existe a,b com a\vec{v}_1+b\vec{v}_2=\vec{v}_3. Então S_{2} não tem solução.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
Ser LD significa que existem escalares, nem todos zero, tais que
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+c_3\vec{v}_3=\overrightarrow{0}.
Deste fato há várias possibilidades de configuração, e isso mostra que a afirmação universal “então S_{2} tem infinitas solução” é exagerada (não vale sempre). Vamos separar casos para entender:
Caso A: Se c_3\neq 0 numa relação de dependência, então podemos isolar \vec{v}_3:
\vec{v}_3 = -\frac{c_1}{c_3}\vec{v}_1 - \frac{c_2}{c_3}\vec{v}_2,
ou seja, \vec{v}_3\in\mathrm{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}. Então S_{2} tem pelo menos uma solução. A unicidade dessa solução depende se \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI ou LD:
  • Se \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} for LI, a solução é única.
  • Se \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} for LD, e \vec{v}_3 estiver no span, então haverá infinitas soluções.
Caso B: Se na relação de dependência c_3=0, então já existe dependência entre \vec{v}_1,\vec{v}_2 (eles são LD). Nesse caso \mathrm{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é uma reta (ou o zero), e pode acontecer que \vec{v}_3 esteja ou não nesse span:
  • Se \vec{v}_3\in\mathrm{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} então, porque \vec{v}_1,\vec{v}_2 são LD, haverá infinitas soluções.
  • Se \vec{v}_3\notin\mathrm{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} então não existe solução.
Portanto existem exemplos de conjuntos LD para os quais S_{2} tem solução única, infinitas soluções, ou nenhuma solução. Consequentemente, a afirmativa II, que afirma que sempre há infinitas soluções quando \beta é LD, é falsa.
Um contraexemplo simples mostrando falsidade de II: tome
\vec{v}_1=(1,0,0,0,0),\quad \vec{v}_2=(0,1,0,0,0),\quad \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2=(1,1,0,0,0).
Aqui \beta é LD (pois \vec{v}_1+\vec{v}_2-\vec{v}_3=\overrightarrow{0}), mas a equação a\vec{v}_1+b\vec{v}_2=\vec{v}_3 tem a solução única a=1,b=1. Logo LD não implica sempre infinitas soluções.
Outro contraexemplo mostrando ainda outra possibilidade: tome
\vec{v}_1=(1,0,0,0,0),\quad \vec{v}_2=(2,0,0,0,0),\quad \vec{v}_3=(0,1,0,0,0).
Aqui \beta é LD (porque \vec{v}_2=2\vec{v}_1), mas \vec{v}_3\notin\mathrm{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}, então S_{2} não tem solução. Isso reforça que II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.”
Lembrar que S_{1} é o sistema homogêneo com colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3, isto é, procuramos (x_1,x_2,x_3) tais que
x_1\vec{v}_1+x_2\vec{v}_2+x_3\vec{v}_3=\overrightarrow{0}.
Pela definição de LI, se \beta é LI essa igualdade implica necessariamente x_1=x_2=x_3=0. Portanto a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial. Logo S_{1} tem solução única. Assim III é verdadeira.
Esse é um fato padrão: colunas LI \Leftrightarrow sistema homogêneo só tem a solução trivial.

Passo 6

Conclusão: juntando as análises acima:
  • I é falsa (quando \beta é LI, S_{2} é inconsistente, não tem solução única).
  • II é falsa (LD não garante infinitas soluções; pode ser única, muitas ou nenhuma).
  • III é verdadeira (LI implica que o sistema homogêneo S_{1} tem só a solução trivial).
Portanto apenas a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

C) Só III é verdadeira.

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