Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
tem solução única.
II. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
III. Se
é LI, então
tem solução única.
A) Só II é verdadeira.
B) Só II e III são verdadeiras.
C) Só III é verdadeira.
D) Só I e III são verdadeiras.
E) Todas são verdadeiras.
F) Todas são falsas.
G) Só I é verdadeira.
H) Só I e II são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
A) Só II é verdadeira.
B) Só II e III são verdadeiras.
C) Só III é verdadeira.
D) Só I e III são verdadeiras.
E) Todas são verdadeiras.
F) Todas são falsas.
G) Só I é verdadeira.
H) Só I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto de vetores
e duas matrizes aumentadas que representam sistemas lineares:
O enunciado pede que se avalie a veracidade das três afirmativas:
I. Se é LI, então
tem solução única.
II. Se é LD, então
tem infinitas solução.
III. Se é LI, então
tem solução única.
I. Se
II. Se
III. Se
As informações relevantes que temos são apenas as definições dos sistemas acima (ou seja,
é o sistema homogêneo com colunas
e
é o sistema não-homogêneo cujo coeficiente tem colunas
e vetor termo independente
) e a hipótese de
ser LI ou LD nas diferentes afirmativas.
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição e consequências básicas (aula rápida e direta, sem pular passos):
Definição de linearmente independente (LI): o conjunto
é LI se, sempre que
temos
. Caso contrário o conjunto é linearmente dependente (LD): existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero.
Consequência importante: se um conjunto com três vetores é LI, então qualquer subconjunto (por exemplo
) também é LI. A razão: se
é LI e
satisfaz a condição de definição, uma combinação linear apenas com
que dê zero pode ser vista como uma combinação com coeficiente zero para
, e pela definição todos os coeficientes devem ser zero.
Outra conexão com sistemas lineares:
- Para um sistema homogêneo
, onde as colunas de são , ter única solução (a solução trivial) é equivalente às colunas serem LI. - Para um sistema não-homogêneo
(aqui tem colunas e ), a existência e unicidade da solução dependem de: - existência: se e somente se
; - unicidade: se as colunas de
são LI (então, quando existe, a solução é única); se as colunas são LD e existe solução, então há infinidade de soluções.
- existência: se e somente se
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Como
é LI, pelo que dissemos no passo anterior, o par
também é LI. Agora,
corresponde a resolver
procurando
. Se
é LI,
não pertence a
(pois isso criaria uma combinação linear não trivial entre
). Portanto não existe nenhum par
que resolva a equação: o sistema
é inconsistente (sem solução). Assim a conclusão “tem solução única” é falsa — na verdade é sem solução. Podemos escrever a contradição formal: se existisse
tal que
, então
seria uma combinação linear não trivial das três colunas, contradizendo a LI. Logo I é falsa.
Um exemplo numérico rápido para visualizar: tome
Aqui
é LI, e claramente não existe
com
. Então
não tem solução.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
Ser LD significa que existem escalares, nem todos zero, tais que
Deste fato há várias possibilidades de configuração, e isso mostra que a afirmação universal “então
tem infinitas solução” é exagerada (não vale sempre). Vamos separar casos para entender:
Caso A: Se
numa relação de dependência, então podemos isolar
:
ou seja,
. Então
tem pelo menos uma solução. A unicidade dessa solução depende se
é LI ou LD:
- Se
for LI, a solução é única. - Se
for LD, e estiver no span, então haverá infinitas soluções.
Caso B: Se na relação de dependência
, então já existe dependência entre
(eles são LD). Nesse caso
é uma reta (ou o zero), e pode acontecer que
esteja ou não nesse span:
- Se
então, porque são LD, haverá infinitas soluções. - Se
então não existe solução.
Portanto existem exemplos de conjuntos LD para os quais
tem solução única, infinitas soluções, ou nenhuma solução. Consequentemente, a afirmativa II, que afirma que sempre há infinitas soluções quando
é LD, é falsa.
Um contraexemplo simples mostrando falsidade de II: tome
Aqui
é LD (pois
), mas a equação
tem a solução única
. Logo LD não implica sempre infinitas soluções.
Outro contraexemplo mostrando ainda outra possibilidade: tome
Aqui
é LD (porque
), mas
, então
não tem solução. Isso reforça que II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Lembrar que
é o sistema homogêneo com colunas
, isto é, procuramos
tais que
Pela definição de LI, se
é LI essa igualdade implica necessariamente
. Portanto a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial. Logo
tem solução única. Assim III é verdadeira.
Esse é um fato padrão: colunas LI
sistema homogêneo só tem a solução trivial.
Passo 6
Conclusão: juntando as análises acima:
- I é falsa (quando
é LI, é inconsistente, não tem solução única). - II é falsa (LD não garante infinitas soluções; pode ser única, muitas ou nenhuma).
- III é verdadeira (LI implica que o sistema homogêneo
tem só a solução trivial).
Portanto apenas a afirmativa III é verdadeira.
Resposta
C) Só III é verdadeira.