Qual é a equação do plano tangente à superfície determinada pela equação
no ponto
(a) ( )
(b) ( )
© ( )
(d) ( )
(e)
(a) ( )
(b) ( )
© ( )
(d) ( )
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação $ x^{2} + y^{2} - xy + z = 5 $ e precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma mais conveniente. Podemos considerar:
Essa é a nossa função implícita $ F(x, y, z) $. Para encontrar o plano tangente nesse ponto, precisamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Derivada parcial em relação a $ x $:
-
Derivada parcial em relação a $ y $:
-
Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Para $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
-
Para $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
-
A derivada em relação a $ z $ sempre é 1.
Passo 5
Com essas derivadas, podemos escrever o vetor normal ao plano tangente:
Esse vetor é perpendicular ao plano tangente.
Passo 6
A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Onde:
- $ \mathbf{n} = (-3, 3, 1) $ é o vetor normal.
- $ \mathbf{r}_0 = (-1, 1, 2) $ é o ponto dado.
- $ \mathbf{r} = (x, y, z) $ é um ponto genérico no plano.
Vamos expandir essa equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é $ 3x - 3y - z = -8 $. Portanto, a alternativa correta é:
© $ 3x - 3y - z = -8 $