Qual é a equação do plano tangente à superfície determinada pela equação x^2+y^2-x y+z=5 no ponto (-1,1,2) ?
(a) ( ) 3 x+y+z=0
(b) ( ) x-3 y-z=-6
© ( ) 3 x-3 y-z=-8
(d) ( ) 3 x-3 y+z=-4
(e) () x+y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação $ x^{2} + y^{2} - xy + z = 5 $ e precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto x^2 + y^2 - xy + z = 5 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma mais conveniente. Podemos considerar:
F(x, y, z) = x^2 + y^2 - xy + z - 5 = 0
Essa é a nossa função implícita $ F(x, y, z) $. Para encontrar o plano tangente nesse ponto, precisamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
    x
  2. Derivada parcial em relação a $ y $:
    partial Fpartial x = 2x - y
  3. Derivada parcial em relação a $ z $:
    y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (-1, 1, 2):
  1. Para $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
    x = -1
  2. Para $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
    y = 1
  3. A derivada em relação a $ z $ sempre é 1.

Passo 5

Com essas derivadas, podemos escrever o vetor normal ao plano tangente:
n = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z ) = (-3, 3, 1)
Esse vetor é perpendicular ao plano tangente.

Passo 6

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
n cdot (r - r0) = 0
Onde:
  • $ \mathbf{n} = (-3, 3, 1) $ é o vetor normal.
  • $ \mathbf{r}_0 = (-1, 1, 2) $ é o ponto dado.
  • $ \mathbf{r} = (x, y, z) $ é um ponto genérico no plano.
Vamos expandir essa equação:
n = (-3, 3, 1)

Passo 7

Simplificando a equação:
-3x - 3 + 3y - 3 + z - 2 &= 0 -3x + 3y + z - 8 &= 0 3x - 3y - z + 8 &= 0 (mu

Resposta

A equação do plano tangente é $ 3x - 3y - z = -8 $. Portanto, a alternativa correta é:
© $ 3x - 3y - z = -8 $

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