A função diferenciável z=f(x, y) no ponto P tem derivada direcional igual a raiz5 na direşão do vetor v=lang<= 2,1rang<= e igual a raiz2 na direção do vetor w=lang<=-1,-1rang<=. Qual vetor aponta na direção e sentido de crescimento mais rápido da função f no ponto P ?
(a) () lang<= 2 raiz5-raiz2, raiz5-raiz2rang<=
(b) (lang<= 7,-9rang<=
© (lang<=raiz5+raiz2,-raiz5-2 raiz2rang<=
(d) (lang<=-7,-9rang<=
(e) ( ) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável no ponto $ P $. A questão fala sobre derivadas direcionais nessa função em duas direções diferentes e quer saber qual vetor aponta na direção de crescimento mais rápido da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas direcionais, vetores unitários e como relacionar tudo isso para encontrar o vetor gradiente, que é o responsável pela direção de crescimento mais rápido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função $ f $ na direção de um vetor $ \vec{v} $ é a taxa de variação de $ f $ quando nos movemos na direção de $ \vec{v} $. Matematicamente, ela é dada por:
f
onde $ \nabla f $ é o vetor gradiente da função e $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.

Passo 3

Vamos identificar os vetores dados e transformar eles em vetores unitários. Os vetores fornecidos são:
v = lang<= 2, 1 rang<= e w = lang<= -1, -1 rang<=
Calculando os vetores unitários:
uv = v||v|| = lang<= 2, 1 rang<=raiz2^2 + 1^2 = lang<= 2, 1 rang<=raiz5 = lang<= 2raiz5, 1raiz5 rang<=
uw = w||w|| = lang<= -1, -1 rang<=raiz(-1)^2 + (-1)^2 = lang<= -1, -1 rang<=raiz2 = lang<= -1raiz2, -1raiz2 rang<=

Passo 4

Agora, usando a fórmula da derivada direcional, temos:
Dv f = nabla f cdot uv = raiz5
Dw f = nabla f cdot uw = raiz2
Vamos chamar o vetor gradiente de $ \nabla f = \langle a, b \rangle $. Assim, podemos montar o sistema de equações:
nabla f = lang<= a, b rang<=
2a + braiz5 = raiz5 Rightarrow 2a + b = 5
Agora, temos o sistema:
-a - braiz2 = raiz2 Rightarrow -a - b = 2
Somando as duas equações:
2a + b = 5 -a - b = 2
Substituindo $ a = 7 $ na primeira equação:
(2a - a) + (b - b) = 5 + 2 Rightarrow a = 7
Então, o vetor gradiente é $ \nabla f = \langle 7, -9 \rangle $.

Resposta

A alternativa correta é a (b) $ \langle 7, -9 \rangle $.

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