A função diferenciável
no ponto
tem derivada direcional igual a
na direşão do vetor
e igual a
na direção do vetor
. Qual vetor aponta na direção e sentido de crescimento mais rápido da função
no ponto
?
(a) ()
(b)
©
(d)
(e) ( ) nenhuma das alternativas anteriores
(a) ()
(b)
©
(d)
(e) ( ) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável no ponto $ P $. A questão fala sobre derivadas direcionais nessa função em duas direções diferentes e quer saber qual vetor aponta na direção de crescimento mais rápido da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas direcionais, vetores unitários e como relacionar tudo isso para encontrar o vetor gradiente, que é o responsável pela direção de crescimento mais rápido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função $ f $ na direção de um vetor $ \vec{v} $ é a taxa de variação de $ f $ quando nos movemos na direção de $ \vec{v} $. Matematicamente, ela é dada por:
onde $ \nabla f $ é o vetor gradiente da função e $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.
Passo 3
Vamos identificar os vetores dados e transformar eles em vetores unitários. Os vetores fornecidos são:
Calculando os vetores unitários:
Passo 4
Agora, usando a fórmula da derivada direcional, temos:
Vamos chamar o vetor gradiente de $ \nabla f = \langle a, b \rangle $. Assim, podemos montar o sistema de equações:
Agora, temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo $ a = 7 $ na primeira equação:
Então, o vetor gradiente é $ \nabla f = \langle 7, -9 \rangle $.
Resposta
A alternativa correta é a (b) $ \langle 7, -9 \rangle $.