A equação
y^{\prime}+P(x) y+Q(x) y^{2}=f(x)
é conhecida como equação de Ricatti.
(a) Mostre que se y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções de (1) então z(x)=y_{2}(x)-y_{1}(x) é solução da equação de Bernoulli z^{\prime}+\left(P+2 y_{2} Q\right) z-Q z^{2}=0.
(b) Sabendo que y(x)=x^{2} é soluçẳo da equação de Ricatti y^{\prime}=y^{2}+2 x-x^{4}, determine as demais soluções da EDO.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati
y' + P(x)\,y + Q(x)\,y^2 = f(x),
e pede:
(a) mostrar que, se y_1 e y_2 são duas soluções, então
z(x)=y_2(x)-y_1(x)
satisfaz uma equação de Bernoulli
z' + \bigl(P+2\,Q\,y_2\bigr)\,z \;-\;Q\,z^2 = 0.
(b) usando que y_1(x)=x^2 é solução da Riccati
y' = y^2 + 2x - x^4,
determinar a família geral de soluções.

Passo 2

Partindo das duas soluções
y_1'+P\,y_1+Q\,y_1^2 = f \quad\text{e}\quad y_2'+P\,y_2+Q\,y_2^2 = f,
subtraímos a primeira da segunda:
y_2'-y_1' + P\,(y_2-y_1) + Q\,(y_2^2 - y_1^2)=0.
Como y_2^2 - y_1^2=(y_2-y_1)(y_2+y_1), definindo z=y_2-y_1 temos
z' + P\,z + Q\,z\,(y_2+y_1)=0.
Mas y_2+y_1=2\,y_2 - (y_2-y_1)=2\,y_2 - z. Substituindo:
z' + P\,z + Q\,z\,(2\,y_2 - z)=0 \;\Longrightarrow\; z' + (P+2\,Q\,y_2)\,z - Q\,z^2 = 0,
que é justamente a equação de Bernoulli indicada.

Passo 3

Para (b), reescrevemos
y' = y^2 + 2x - x^4
como
y' + 0\cdot y + (-1)\,y^2 = 2x - x^4,
logo P=0, Q=-1. Tomamos a solução particular y_1(x)=x^2 e fazemos
z(x)=y(x)-x^2.
Pelo item (a), z satisfaz
z' + \bigl(0 + 2\,(-1)\,x^2\bigr)\,z \;-\;(-1)\,z^2 = 0 \;\Longrightarrow\; z' - 2x^2\,z + z^2 = 0.

Passo 4

A equação
z' - 2x^2\,z + z^2 = 0
é de Bernoulli (grau n=2). Usamos a troca
u = \frac{1}{z},
então
u' = -\frac{z'}{z^2}.
Como z' = 2x^2\,z - z^2, temos
u' = -\frac{2x^2\,z - z^2}{z^2} = -2x^2\,\frac{z}{z^2} +1 = -2x^2\,u +1,
ou seja, a linear em u:
u' + 2x^2\,u = 1.

Passo 5

Resolvendo por fator integrante,
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int 2x^2\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac{2}{3}x^3\Bigr).
Multiplicando:
\frac{d}{dx}\Bigl(u\,e^{\tfrac{2}{3}x^3}\Bigr) = e^{\tfrac{2}{3}x^3} \;\Longrightarrow\; u\,e^{\tfrac{2}{3}x^3} = \int e^{\tfrac{2}{3}t^3}\,dt + C.
Logo
u(x) = e^{-\tfrac{2}{3}x^3}\Bigl(\!\!\int^x e^{\tfrac{2}{3}t^3}\,dt + C\Bigr).
Voltando a z=1/u e y = x^2 + z, obtemos a solução geral:

Resposta

\boxed{ y(x) \;=\; x^2 \;+\; \frac{e^{\tfrac{2}{3}x^3}} {\,\displaystyle C + \int^x e^{\tfrac{2}{3}t^3}\,dt\,}, \quad C\in\mathbb{R}. }

Exercícios relacionados