A equação
é conhecida como equação de Ricatti.
(a) Mostre que se
e
são soluções de (1) então
é solução da equação de Bernoulli
.
(b) Sabendo que
é soluçẳo da equação de Ricatti
, determine as demais soluções da EDO.
(a) Mostre que se
(b) Sabendo que
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati
e pede:
(a) mostrar que, se e
são duas soluções, então
(a) mostrar que, se
satisfaz uma equação de Bernoulli
(b) usando que
é solução da Riccati
determinar a família geral de soluções.
Passo 2
Partindo das duas soluções
subtraímos a primeira da segunda:
Como
, definindo
temos
Mas
. Substituindo:
que é justamente a equação de Bernoulli indicada.
Passo 3
Para (b), reescrevemos
como
logo
,
. Tomamos a solução particular
e fazemos
Pelo item (a),
satisfaz
Passo 4
A equação
é de Bernoulli (grau
). Usamos a troca
então
Como
, temos
ou seja, a linear em
:
Passo 5
Resolvendo por fator integrante,
Multiplicando:
Logo
Voltando a
e
, obtemos a solução geral: