Resolva as Equações Diferenciais abaixo:
(a) \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=3 \cos (2 x), \operatorname{para} x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = 3\cos(2x), \quad x>0.
O conteúdo é resolução de ODEs lineares usando fator integrante.

Passo 2

Identificamos que a equação tem a forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=\tfrac{1}{x} e Q(x)=3\cos(2x). O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln x) = x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx} + y = 3x\cos(2x).
O lado esquerdo é a derivada do produto x\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = x\frac{dy}{dx} + y.
Logo a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = 3x\cos(2x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y = \int 3x\cos(2x)\,dx + C.
Para calcular \displaystyle \int 3x\cos(2x)\,dx, usamos integração por partes. Seja
u = x,\quad dv = \cos(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Então
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot\tfrac{1}{2}\sin(2x) - \int \tfrac{1}{2}\sin(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x)+K.
Multiplicando por 3,
\int 3x\cos(2x)\,dx = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + K.
Portanto
x\,y = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C.

Passo 5

Isolando y, dividimos ambos os lados por x:
y(x) = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\,\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x},
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\,\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.}

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