Usando o método de Frobenius, encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(c) (x^4+2 x^2) y^prime prime+3 x y^prime-6 x^2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
l(x^4+2x^2r)y''+3x,y'-6x^2y=0,
que apresenta um ponto singular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius em torno de x=0.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo por x^2 (supondo xneq0):
(x^2+2),y''+3xy'-6y=0
Procuramos uma solução da forma
y=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0
Então
y'=sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1, y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),x^n+r-2

Passo 3

Substituindo em (x^2+2)y''+tfrac3xy'-6y=0 e igualando coeficientes de x^n+r-2, obtemos para n=0 a equação indicial
a0l[2r(r-1)+3rr]=a0,r(2r+1)=0 ;Longrightarrow;r=0ou r=-tfrac12

Passo 4

Para vem a relação de recorrência
isto é, usando
e
,
chegamos a
Como , só aparecem termos de índice par.

Passo 5

As duas raízes r=0 e r=-tfrac12 geram uma base de soluções:
y1(x)=summ=0^inftya2m,x^2m, a0=1, a2m=(-1)^mprodk=1^m2k-54k+1,
y2(x)=x^-1/2summ=0^inftyb2m,x^2m, b0=1, b2m=(-1)^mprodk=1^m2k-tfrac1124k
Os primeiros termos são, por exemplo,
y1(x)=1+35x^2+115x^4-1195x^6+cdots,
y2(x)=x^-tfrac12l(1+78x^2+964x^4+cdotsr)

Resposta

A solução geral é
com e dadas pelas séries acima.

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