Usando o método de Frobenius, encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(a) y^prime+2 x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + 2x,y = 0
usando o método de Frobenius, ou seja, buscando uma solução em série em torno de x=0. Esse método consiste em assumir
y = sumn=0^infty an,x^n+r,
determinar o expoente r (pela equação indicial) e então obter uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^infty an,x^n+r
Então
y' = sumn=0^infty (n+r),an,x^n+r-1, 2x,y = 2sumn=0^infty an,x^n+r+1
Substituindo em y' + 2x,y = 0
sumn=0^infty (n+r),an,x^n+r-1 ;+; 2sumn=0^infty an,x^n+r+1 ;=;0

Passo 3

Para somar termos com a mesma potência de x fazemos na segunda soma a mudança de índice n=m-2. Assim
2sumn=0^infty an,x^n+r+1 =2summ=2^infty am-2,x^m+r-1
Logo a soma total fica
summ=0^inftyl[(m+r),am + 2,am-2r]x^m+r-1=0,
onde adotamos a-1=a-2=0. Daí o coeficiente de cada potência deve anular:
(m+r),am + 2,am-2 = 0, m=0,1,2,dots

Passo 4

Para m=0 obtemos a equação indicial
r,a0 + 2,a-2 = r,a0 = 0 Longrightarrow r=0
Para m>=1 temos a relação de recorrência (com r=0)
m,am + 2,am-2 = 0 Longrightarrow am = -2m,am-2
Em particular a1=0, e para m=2k segue
a2k = -22k,a2k-2 = -1k,a2k-2,
de modo que
a2k = (-1)^k1k!,a0,
enquanto todos os a2k+1=0.

Passo 5

A solução em série fica
y = sumk=0^infty a2k,x^2k = a0sumk=0^infty (-1)^kx^2kk! = a0,e^-x^2
Como a0 é constante arbitrária, a solução geral é
y = C,e^-x^2

Resposta

A família de soluções é
boxedy = C,e^-x^2, CinR

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