Usando o método de Frobenius, encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de Frobenius, ou seja, buscando uma solução em série em torno de
. Esse método consiste em assumir
determinar o expoente
(pela equação indicial) e então obter uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos
Então
Substituindo em
dá
Passo 3
Para somar termos com a mesma potência de
fazemos na segunda soma a mudança de índice
. Assim
Logo a soma total fica
onde adotamos
. Daí o coeficiente de cada potência deve anular:
Passo 4
Para
obtemos a equação indicial
Para
temos a relação de recorrência (com
)
Em particular
, e para
segue
de modo que
enquanto todos os
.
Passo 5
A solução em série fica
Como
é constante arbitrária, a solução geral é
Resposta
A família de soluções é