Determinar se cada um dos seguintes sinais em tempo contínuo
ou discreto
é periódico e, caso seja, determinar seu período fundamental. No item d), calcular a potência, se for o caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o sinal discreto $ x(k) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $ é periódico. Se for, também precisamos encontrar o período fundamental. Além disso, no item d), temos que calcular a potência do sinal, caso ele seja periódico.
Matéria envolvida: Periodicidade de sinais discretos e cálculo de potência de sinais periódicos.
O que vamos precisar:
- Entender o que significa um sinal ser periódico.
- Saber como determinar o período fundamental de um sinal discreto.
- Conhecer a fórmula para calcular a potência de um sinal periódico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sinal periódico. Um sinal discreto $ x(k) $ é periódico se existir um inteiro positivo $ N $ tal que:
Ou seja, o sinal se repete a cada $ N $ amostras. O menor valor positivo de $ N $ que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.
Passo 3
Agora, vamos analisar o nosso sinal $ x(k) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $. Queremos encontrar um valor de $ N $ tal que:
Vamos explorar os valores da função cosseno para ver se encontramos essa repetição.
Passo 4
Vamos calcular $ x(k) $ para alguns valores de $ k $:
Observamos que a sequência é: 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, …
Passo 5
Percebemos que o sinal se repete a cada 4 amostras:
Portanto, $ N = 4 $ é um período do sinal. Agora, precisamos verificar se 4 é o menor período possível, ou seja, o período fundamental.
Passo 6
Vamos verificar períodos menores que 4:
-
Para $ N = 1 $:Isso não é igual a $ \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $ para todos os $ k $.
-
Para $ N = 2 $:Isso não é igual a $ x(k) $, a menos que $ x(k) = 0 $, o que não é o caso geral.
-
Para $ N = 3 $:Novamente, não é igual para todos os $ k $.
Portanto, o menor $ N $ que satisfaz a condição é 4.
Passo 7
Agora, vamos calcular a potência do sinal. Para um sinal periódico $ x(k) $ com período $ N $, a potência $ P $ é dada por:
Usaremos $ N = 4 $ e os valores de $ x(k) $ que já calculamos.
Passo 8
Calculando $ |x(k)|^2 $ para $ k = 0, 1, 2, 3 $:
Somando:
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula da potência:
Resposta
O sinal discreto $ x(k) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $ é periódico com período fundamental $ N = 4 $. A potência do sinal é $ P = 0,5 $.