Determinar se cada um dos seguintes sinais em tempo contínuo x(t) ou discreto x(k) é periódico e, caso seja, determinar seu período fundamental. No item d), calcular a potência, se for o caso.
x(k)=cos (k pi2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o sinal discreto $ x(k) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $ é periódico. Se for, também precisamos encontrar o período fundamental. Além disso, no item d), temos que calcular a potência do sinal, caso ele seja periódico.
Matéria envolvida: Periodicidade de sinais discretos e cálculo de potência de sinais periódicos.
O que vamos precisar:
  • Entender o que significa um sinal ser periódico.
  • Saber como determinar o período fundamental de um sinal discreto.
  • Conhecer a fórmula para calcular a potência de um sinal periódico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sinal periódico. Um sinal discreto $ x(k) $ é periódico se existir um inteiro positivo $ N $ tal que:
x(k)
Ou seja, o sinal se repete a cada $ N $ amostras. O menor valor positivo de $ N $ que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.

Passo 3

Agora, vamos analisar o nosso sinal $ x(k) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $. Queremos encontrar um valor de $ N $ tal que:
x(k) = cos(kpi2)
Vamos explorar os valores da função cosseno para ver se encontramos essa repetição.

Passo 4

Vamos calcular $ x(k) $ para alguns valores de $ k $:
x(k)
Observamos que a sequência é: 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, …

Passo 5

Percebemos que o sinal se repete a cada 4 amostras:
x(0) = 1, x(4) = 1, x(8) = 1, e assim por diante
Portanto, $ N = 4 $ é um período do sinal. Agora, precisamos verificar se 4 é o menor período possível, ou seja, o período fundamental.

Passo 6

Vamos verificar períodos menores que 4:
  • Para $ N = 1 $:
    N = 1
    Isso não é igual a $ \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $ para todos os $ k $.
  • Para $ N = 2 $:
    x(k + 1) = cos((k + 1)pi2)
    Isso não é igual a $ x(k) $, a menos que $ x(k) = 0 $, o que não é o caso geral.
  • Para $ N = 3 $:
    cos(kpi2)
    Novamente, não é igual para todos os $ k $.
Portanto, o menor $ N $ que satisfaz a condição é 4.

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência do sinal. Para um sinal periódico $ x(k) $ com período $ N $, a potência $ P $ é dada por:
x(k)
Usaremos $ N = 4 $ e os valores de $ x(k) $ que já calculamos.

Passo 8

Calculando $ |x(k)|^2 $ para $ k = 0, 1, 2, 3 $:
|x(k)|^2
Somando:
k = 0, 1, 2, 3

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula da potência:
P = 14 times 2 = 24 = 0,5

Resposta

O sinal discreto $ x(k) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right) $ é periódico com período fundamental $ N = 4 $. A potência do sinal é $ P = 0,5 $.

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