A equação
onde
é uma constante, é conhecida como equação de Hermite. Esta equação é importante na física matemática sendo ela a equação que descreve o oscilador harmônico quântico unidimensional.
(b) Mostre que se
é um inteiro par não negativa, então uma ou outra solução em série torna-se um polinômio. Encontre as soluções polinomiais para
e
Res: 1,
,
.
(b) Mostre que se
Passo 1
A equação de Hermite
em
descreve o oscilador harmônico quântico. Queremos mostrar que, se
com
inteiro não negativo, uma das soluções em série se torna um polinômio, e então encontrar esses polinômios para
usando o método de séries de potências.
Passo 2
Propomos a solução em série de potências
Podemos separar em parte par e parte ímpar:
Passo 3
Derivando e substituindo na equação obtemos a relação de recorrência
que liga os coeficientes de mesma paridade.
Passo 4
Se
, então ao chegar em
temos
, o que faz a série terminar. Se
é par, a parte par gera o polinômio; se
é ímpar, termina a parte ímpar. O grau do polinômio resultante é
.
Passo 5
Escolhendo normalização adequada (
na parte par,
na ímpar) e aplicando a recorrência para cada caso, obtemos:
- para
( ), parte par: . - para
( ), parte ímpar: . - para
( ), parte par: . - para
( ), parte ímpar: . - para
( ), parte par: . - para
( ), parte ímpar: .
Resposta
As soluções polinomiais para
são, respectivamente:
1, \quad x, \quad 1-2x^2, \quad x-\tfrac{2}{3}x^3, \quad 1-4x2+\tfrac{4}{3}x4, \quad x-\tfrac{4}{3}x3+\tfrac{4}{15}x5.