A equação
y^prime prime-2 x y^prime+lambda y=0, com -infty
onde lambda é uma constante, é conhecida como equação de Hermite. Esta equação é importante na física matemática sendo ela a equação que descreve o oscilador harmônico quântico unidimensional.
(b) Mostre que se lambda é um inteiro par não negativa, então uma ou outra solução em série torna-se um polinômio. Encontre as soluções polinomiais para lambda=0,2,4,6,8 e 10 Res: 1, x, 1-2 x^2, x-23 x^3, 1-4 x^2+43 x^4, x-43 x^3+415 x^5.

Passo 1

A equação de Hermite y'' - 2x y' + lambda y = 0 em -infty < x < infty descreve o oscilador harmônico quântico. Queremos mostrar que, se lambda = 2n com n inteiro não negativo, uma das soluções em série se torna um polinômio, e então encontrar esses polinômios para lambda = 0,2,4,6,8,10 usando o método de séries de potências.

Passo 2

Propomos a solução em série de potências
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
Podemos separar em parte par e parte ímpar:
ypar(x) = summ=0^infty a2m x^2m, yímpar(x) = summ=0^infty a2m+1 x^2m+1 í

Passo 3

Derivando e substituindo na equação obtemos a relação de recorrência
ak+2 = 2k - lambda(k+2)(k+1),ak,
que liga os coeficientes de mesma paridade.

Passo 4

Se lambda = 2n, então ao chegar em k = n temos an+2 = 0, o que faz a série terminar. Se n é par, a parte par gera o polinômio; se n é ímpar, termina a parte ímpar. O grau do polinômio resultante é n.

Passo 5

Escolhendo normalização adequada ( a0=1 na parte par, a1=1 na ímpar) e aplicando a recorrência para cada caso, obtemos:
  • para n=0 ( lambda=0), parte par: y=1.
  • para n=1 ( lambda=2), parte ímpar: y=x.
  • para n=2 ( lambda=4), parte par: y=1-2x^2.
  • para n=3 ( lambda=6), parte ímpar: y=x-tfrac23x^3.
  • para n=4 ( lambda=8), parte par: y=1-4x^2+tfrac43x^4.
  • para n=5 ( lambda=10), parte ímpar: y=x-tfrac43x^3+tfrac415x^5.

Resposta

As soluções polinomiais para lambda=0,2,4,6,8,10 são, respectivamente:
1, \quad x, \quad 1-2x^2, \quad x-\tfrac{2}{3}x^3, \quad 1-4x2+\tfrac{4}{3}x4, \quad x-\tfrac{4}{3}x3+\tfrac{4}{15}x5.

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