A equação
onde
é uma constante, é conhecida como equação de Hermite. Esta equação é importante na física matemática sendo ela a equação que descreve o oscilador harmônico quântico unidimensional.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno de
. Res:
e
.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno de
Passo 1
A equação de Hermite
Conteúdo: método de séries de potências para EDOs e obtenção de recorrência entre coeficientes.
O que vamos precisar: escrever y como série em torno de x₀=0, calcular derivadas, substituir na equação e igualar coeficientes.
Passo 2
Propondo a solução em série de potências em torno de zero:
então
Passo 3
Substituindo na equação
e reindexando para ter potências iguais de x, obtemos
Agrupando os somatórios em
:
Passo 4
Da condição de anular o coeficiente de cada
vem a relação de recorrência
Isso permite gerar os coeficientes de dois casos: até n par (solução par) e até n ímpar (solução ímpar).
Passo 5
Para a solução par (
,
) e escolhendo
, calculamos
Para a solução ímpar (
,
) e escolhendo
, calculamos
Passo 6
Escrevendo então as duas séries até o quarto termo não nulo:
Solução par:
Solução ímpar:
Resposta
As duas soluções linearmente independentes em série de potências em torno de
são:
y_1(x)=
y_2(x)=
.