A equação
y^prime prime-2 x y^prime+lambda y=0, com -infty
onde lambda é uma constante, é conhecida como equação de Hermite. Esta equação é importante na física matemática sendo ela a equação que descreve o oscilador harmônico quântico unidimensional.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno de x0=0. Res: y1(x)=1-lambda2! x^2+lambda(lambda-4)4! x^4-lambda(lambda-4)(lambda-8)6! x^6+ldots e y2(x)= x-lambda-23! x^3+(lambda-2)(lambda-6)5! x^5-(lambda-2)(lambda-6)(lambda-10)7! x^7+ldots.

Passo 1

A equação de Hermite
Conteúdo: método de séries de potências para EDOs e obtenção de recorrência entre coeficientes.
O que vamos precisar: escrever y como série em torno de x₀=0, calcular derivadas, substituir na equação e igualar coeficientes.

Passo 2

Propondo a solução em série de potências em torno de zero:
y(x)=sumn=0^infty anx^n,
então
y'(x)=sumn=1^infty n anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2

Passo 3

Substituindo na equação
y''-2xy'+lambda y=0,
e reindexando para ter potências iguais de x, obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n -2sumn=0^infty n anx^n + lambdasumn=0^infty anx^n =0
Agrupando os somatórios em x^n:
(n+2)(n+1)an+2 -2n an + lambda an =0

Passo 4

Da condição de anular o coeficiente de cada x^n vem a relação de recorrência
an+2=2n -lambda(n+2)(n+1),an
Isso permite gerar os coeficientes de dois casos: até n par (solução par) e até n ímpar (solução ímpar).

Passo 5

Para a solução par ( a1=0, a0neq0) e escolhendo a0=1, calculamos
a2=-lambda2!, a4=lambda(lambda-4)4!, a6=-lambda(lambda-4)(lambda-8)6!,dots
Para a solução ímpar ( a0=0, a1neq0) e escolhendo a1=1, calculamos
a3=-lambda-23!, a5=(lambda-2)(lambda-6)5!, a7=-(lambda-2)(lambda-6)(lambda-10)7!,dots.

Passo 6

Escrevendo então as duas séries até o quarto termo não nulo:
Solução par: y1(x)=1-lambda2!x^2+lambda(lambda-4)4!x^4-lambda(lambda-4)(lambda-8)6!x^6+dots
Solução ímpar: y2(x)=x-lambda-23!x^3+(lambda-2)(lambda-6)5!x^5-(lambda-2)(lambda-6)(lambda-10)7!x^7+dots

Resposta

As duas soluções linearmente independentes em série de potências em torno de x0=0 são:
y_1(x)= 1-lambda2!x^2+lambda(lambda-4)4!x^4-lambda(lambda-4)(lambda-8)6!x^6+dots
y_2(x)= x-lambda-23!x^3+(lambda-2)(lambda-6)5!x^5-(lambda-2)(lambda-6)(lambda-10)7!x^7+dots.

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