Determinar se cada um dos seguintes sinais em tempo contínuo
ou discreto
é periódico e, caso seja, determinar seu período fundamental. No item d), calcular a potência, se for o caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o sinal contínuo $ x(t) = 5 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) + 3 \sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) + 9 \sin(0,5 \pi t) + 12 $ é periódico. Se for periódico, também precisamos encontrar o período fundamental. Além disso, no item d), precisamos calcular a potência do sinal, caso ele seja periódico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sinal periódico. Um sinal $ x(t) $ é periódico se existe um período $ T > 0 $ tal que:
O período fundamental é o menor valor de $ T $ que satisfaz essa condição.
Passo 3
Vamos analisar cada componente do sinal $ x(t) $ separadamente para verificar se cada um é periódico e determinar seus períodos:
- Primeiro termo: $ 5 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) $
- Segundo termo: $ 3 \sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) $
- Terceiro termo: $ 9 \sin(0,5 \pi t) $
- Quarto termo: $ 12 $ (um termo constante)
Passo 4
Vamos encontrar o período de cada termo:
-
Primeiro termo: $ \cos(\omega t) $, onde $ \omega = \frac{2\pi}{3} $.O período $ T_1 $ é dado por:
-
Segundo termo: $ \sin(\omega t + \phi) $, onde $ \omega = \frac{\pi}{3} $ e $ \phi = -\frac{\pi}{6} $.O período $ T_2 $ é:
-
Terceiro termo: $ \sin(\omega t) $, onde $ \omega = 0,5\pi $.O período $ T_3 $ é:
-
Quarto termo: $ 12 $ é uma constante e, portanto, tem período $ T_4 $ qualquer valor positivo, mas geralmente consideramos que é periódico para qualquer $ T $.
Passo 5
Para que o sinal $ x(t) $ seja periódico, todos os seus componentes periódicos devem ter um período comum, ou seja, deve existir um valor $ T $ que seja múltiplo inteiro de $ T_1 $, $ T_2 $ e $ T_3 $.
Vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos:
- $ T_1 = 3 $
- $ T_2 = 6 $
- $ T_3 = 4 $
O MMC de 3, 6 e 4 é 12. Portanto, o período fundamental $ T $ do sinal $ x(t) $ é 12.
Passo 6
Com o período $ T = 12 $, podemos confirmar que:
Simplificando cada termo:
- $ \cos\left(\frac{2\pi t}{3} + 8\pi\right) = \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) $ (já que $ \cos $ tem período $ 2\pi $)
- $ \sin\left(\frac{\pi t}{3} + 4\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) $
- $ \sin(0,5\pi t + 6\pi) = \sin(0,5\pi t) $
- $ 12 $ permanece o mesmo.
Portanto, $ x(t + 12) = x(t) $, confirmando que o sinal é periódico com período fundamental 12.
Passo 7
Agora, vamos calcular a potência do sinal $ x(t) $. A potência média $ P $ de um sinal periódico $ x(t) $ é dada por:
Onde $ T = 12 $ é o período fundamental.
Passo 8
Antes de calcular a potência, vamos simplificar o sinal $ x(t) $:
A potência será calculada considerando a média do quadrado do sinal ao longo de um período.
Passo 9
Para facilitar, vamos lembrar que a potência de um sinal constante $ C $ é $ C^2 $. Portanto, o termo constante $ 12 $ contribui com $ 12^2 = 144 $ para a potência.
Os termos oscilatórios (seno e cosseno) têm uma potência média de metade do quadrado da amplitude, devido às propriedades dos sinais senoidais.
Calculando para cada termo:
- $ 5 \cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right) $: Potência $ \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2} = 12,5 $
- $ 3 \sin\left(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}\right) $: Potência $ \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 $
- $ 9 \sin(0,5 \pi t) $: Potência $ \frac{9^2}{2} = \frac{81}{2} = 40,5 $
- $ 12 $: Potência $ 144 $
Passo 10
Somando todas as contribuições de potência:
Portanto, a potência do sinal $ x(t) $ é 201,5 unidades de potência.
Resposta
O sinal $ x(t) $ é periódico com período fundamental $ T = 12 $. A potência do sinal é 201,5 unidades de potência.