Os métodos de expansão em série são diretamente aplicáveis em EDOs de primeira ordem homogêneas desde que p(x) seja analítica no ponto de expansão x0. Resolva as EDOs de primeira ordem abaixo e se possível compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(a) y^prime-y=0 em torno de x0=0 Res: y(x)=sumn=0^infty x^nn!.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem homogênea y'-y=0 em torno de x0=0 usando expansão em série de potências, e depois comparar com os métodos clássicos (separação de variáveis e série de Taylor). Vamos precisar escrever y(x) como sumn=0^infty an x^n e extrair uma relação de recorrência para an.

Passo 2

Suponha a solução em série de potências
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
e calcule a derivada

Passo 3

Reescreva a soma de y' com índice igual a x^n trocando n-1=m:
y'(x)=summ=0^infty (m+1),am+1,x^m

Passo 4

Agora substitua y' e y na EDO y'-y=0:
summ=0^infty (m+1)am+1x^m - sumn=0^infty an x^n =0

Passo 5

Como os índices são iguais (troque m por n na primeira soma), igualamos coeficientes de x^n:
(n+1)an+1-an=0 Rightarrow an+1=ann+1

Passo 6

Essa é a recorrência típica de 1/(n!). Tomando a0=y(0), obtemos por indução
a1=a01, a2=a12=a02!,dots, an=a0n!

Passo 7

Logo a solução geral em série fica
y(x)=a0sumn=0^infty x^nn!

Passo 8

Pelo método clássico de separação de variáveis teríamos y'=y dando y=Ce^x. E a expansão de Taylor de e^x é exatamente
e^x=sumn=0^infty x^nn!,
o que coincide com a série acima quando escolhemos a0=C.

Resposta

y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{n!}

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