Os métodos de expansão em série são diretamente aplicáveis em EDOs de primeira ordem homogêneas desde que
seja analítica no ponto de expansão
. Resolva as EDOs de primeira ordem abaixo e se possível compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(a)
em torno de
Res:
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem homogênea
em torno de
usando expansão em série de potências, e depois comparar com os métodos clássicos (separação de variáveis e série de Taylor). Vamos precisar escrever
como
e extrair uma relação de recorrência para
.
Passo 2
Suponha a solução em série de potências
e calcule a derivada
Passo 3
Reescreva a soma de
com índice igual a
trocando
:
Passo 4
Agora substitua
e
na EDO
:
Passo 5
Como os índices são iguais (troque
por
na primeira soma), igualamos coeficientes de
:
Passo 6
Essa é a recorrência típica de
. Tomando
, obtemos por indução
Passo 7
Logo a solução geral em série fica
Passo 8
Pelo método clássico de separação de variáveis teríamos
dando
. E a expansão de Taylor de
é exatamente
o que coincide com a série acima quando escolhemos
Resposta
y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{n!}