A equação
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-19) y=0
possui um ponto singular regular em x=0.
(a) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial. Res: r^2-19=0 Rightarrow r1=13 e r2=-13 ; an=-an-2(n+r)^2-19.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação x^2 y'' + x y' + l(x^2 - tfrac19r)y = 0com ponto singular regular em x=0. Para resolver usamos o método de Frobenius, ou seja, procuramos solução da forma y=sumn=0^infty an x^n+r, onde r é o expoente indicial e a0neq0.

Passo 2

Substituindo y, y' e y'' na equação temos, depois de reorganizar as potências de x:
sumn=0^infty anl[(n+r)(n+r-1)+(n+r)-tfrac19r]x^n+r +sumn=2^infty an-2,x^n+r=0

Passo 3

Isolando o termo de menor potência ( n=0), obtemos a equação indicial:
a0l[r(r-1)+r-tfrac19r]=a0l(r^2-tfrac19r)=0
Logo a equação indicial é r^2-tfrac19=0.

Passo 4

Resolvendo r^2-tfrac19=0 vem imediatamente as raízes:
r1=tfrac13, r2=-tfrac13

Passo 5

Para as potências gerais com n>=2 igualamos o coeficiente de x^n+r a zero e encontramos a relação de recorrência:
anl[(n+r)^2-tfrac19r]+an-2=0
de onde
an=-an-2(n+r)^2-tfrac19

Resposta

Equação indicial: r^2-tfrac19=0. Raízes: r1=tfrac13, r2=-tfrac13. Relação de recorrência: an=-dfracan-2(n+r)^2-tfrac19.

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