A equação
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
onde alpha é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
(d) Mostre que se alpha for um inteiro impar positivo (2 n+1 com n in N) a solução em série y2 se reduz a um polinômio de grau 2 n+1. Encontre os polinômios correspondentes a alpha=1,3 e 5 .

Passo 1

Estamos lidando com a equação de Legendre
(1−x^2)y’‘−2x y’+α(α+1)y=0, onde α é constante maior que −1. Na parte (d) queremos mostrar que, se α=2n+1 (ímpar positivo), a solução em série ímpar se torna um polinômio de grau 2n+1 e, depois, encontrar esses polinômios para α=1,3,5.

Passo 2

Vamos procurar uma solução por série de potências centrada em x=0, escolhendo a forma ímpar
y2(x)=summ=0^inftya2m+1x^2m+1
Substituindo na equação de Legendre e igualando coeficientes, obtemos uma relação de recorrência entre os coeficientes a_k.

Passo 3

A relação de recorrência vem de comparar potências de x e dá para todo m≥0:
am+2=m(m+1)-alpha(alpha+1)(m+2)(m+1),am
Como escolhemos a_série ímpar, só aparecem termos com índice ímpar na prática.

Passo 4

Agora, se α=2n+1, observe que para m=2n+1 o numerador se anula:
m(m+1)-alpha(alpha+1)=(2n+1)(2n+2)-(2n+1)(2n+2)=0
Isso faz com que a_{2n+3}=0, e por recorrência todos os coeficientes de ordem maior também sejam zero. Logo a série termina em x^{2n+1}, dando um polinômio de grau 2n+1.

Passo 5

Para obter explicitamente os polinômios padrões P_{2n+1}(x), escolhe-se a normalização usual P_{2n+1}(1)=1. Com isso chega-se aos resultados clássicos para α=1,3,5.

Resposta

Para α=1: P_{1}(x)=x
Para α=3: P_{3}(x)=\frac{5x^{3}-3x}{2}
Para α=5: P_{5}(x)=\frac{63x{5}-70x{3}+15x}{8}

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