O método de soluções em série pode ser facilmente adaptado para resolver EDOs não homogêmeas cuja a parte não homogênea é polinomial. Resolva as EDOs abaixo via série de potências e depois compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(b)
em torno de
Res:
.
(b)
Passo 1
A equação é a EDO não homogênea y¨+y=x em torno de x₀=0. Vamos usar série de potências para achar a solução geral e depois reconhecer as séries de Taylor de cos x e sin x para comparar com o método clássico.
Passo 2
Assumimos y como série de potências em torno de 0: y(x)=∑_{n=0}^{∞}a_n x^n. Então y¨(x)=∑_{n=0}{∞}(n+2)(n+1)a_{n+2}xn.
Passo 3
Substituindo na EDO y¨+y=x, a parte não homogênea se escreve como x=∑_{n=0}^{∞}c_n x^n, com c_1=1 e c_n=0 para n≠1. Assim
Passo 4
Logo a condição de cancelamento dos coeficientes dá a relação de recorrência
Passo 5
Para n≠1 temos c_n=0, então a_{n+2}=-a_n/[(n+2)(n+1)]. Isso gera para os termos pares (n=2k):
Passo 6
Para os ímpares, em n=1 obtemos a_3=(1-a_1)/(3·2) e para n≥3 o mesmo padrão sem c_n, resultando em
Passo 7
Montando y(x)=∑a_{2n}x{2n}+∑a_{2n+1}x{2n+1} dá
Passo 8
Reconhecendo as séries: cos x=∑_{n=0}(-1)^n x^{2n}/(2n)!, sin x=∑_{n=0}(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)! e Σ_{n=1}(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!=sin x - x, obtemos
Passo 9
Comparando com o método clássico (solução geral y=C_1 cos x + C_2 sin x + x), vemos que basta redefinir C_1=a_0 e C_2=a_1-1 para coincidir.