O método de soluções em série pode ser facilmente adaptado para resolver EDOs não homogêmeas cuja a parte não homogênea é polinomial. Resolva as EDOs abaixo via série de potências e depois compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(b) y^prime prime+y=x em torno de x0=0 Res: y(x)=a0 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!+a1 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!-sumn=1^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=a0 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!+bara1 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!+x.

Passo 1

A equação é a EDO não homogênea y¨+y=x em torno de x₀=0. Vamos usar série de potências para achar a solução geral e depois reconhecer as séries de Taylor de cos x e sin x para comparar com o método clássico.

Passo 2

Assumimos y como série de potências em torno de 0: y(x)=∑_{n=0}^{∞}a_n x^n. Então y¨(x)=∑_{n=0}{∞}(n+2)(n+1)a_{n+2}xn.

Passo 3

Substituindo na EDO y¨+y=x, a parte não homogênea se escreve como x=∑_{n=0}^{∞}c_n x^n, com c_1=1 e c_n=0 para n≠1. Assim
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+an - cnr]x^n=0

Passo 4

Logo a condição de cancelamento dos coeficientes dá a relação de recorrência
an+2=cn - an(n+2)(n+1)

Passo 5

Para n≠1 temos c_n=0, então a_{n+2}=-a_n/[(n+2)(n+1)]. Isso gera para os termos pares (n=2k):
a2k=(-1)^ka0(2k)!

Passo 6

Para os ímpares, em n=1 obtemos a_3=(1-a_1)/(3·2) e para n≥3 o mesmo padrão sem c_n, resultando em
a2k+1=(-1)^k-11-a1(2k+1)!(k>=1)

Passo 7

Montando y(x)=∑a_{2n}x{2n}+∑a_{2n+1}x{2n+1} dá
y(x)=a0sumn=0^infty(-1)^n x^2n(2n)!+a1sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!-sumn=1^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 8

Reconhecendo as séries: cos x=∑_{n=0}(-1)^n x^{2n}/(2n)!, sin x=∑_{n=0}(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)! e Σ_{n=1}(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!=sin x - x, obtemos
y(x)=a0cos x + a1sin x - (sin x - x)=a0cos x+(a1-1)sin x + x

Passo 9

Comparando com o método clássico (solução geral y=C_1 cos x + C_2 sin x + x), vemos que basta redefinir C_1=a_0 e C_2=a_1-1 para coincidir.

Resposta

y(x)=a0sumn=0^infty(-1)^n x^2n(2n)!+a1sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!-sumn=1^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!, que equivale a y(x)=a0cos x+(a1-1)sin x+x.

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