A equação
possui um ponto singular regular em
.
(b) Mostre que existem duas soluções em série em torno de
(linearmente independentes) dadas por
(b) Mostre que existem duas soluções em série em torno de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de Bessel de ordem ν=1/3, dada por
possui duas soluções em série em torno de x=0 do tipo Frobenius, com expoentes r=±1/3.
Passo 2
Supondo uma solução da forma
substituímos em y, y’ e y’’ na equação e coletamos potências de x^{n+r}.
Passo 3
Do termo de menor potência x^{r} extraímos a equação indicial:
o que leva a
Passo 4
Para os coeficientes a_n obtemos a relação de recorrência (para n≥2):
Isso mostra que, se escolhermos a_{1}=0, só aparecem termos de ordem par: a_{2k+1}=0.
Passo 5
Para cada valor de r definimos a_{0}=1 e usamos a recorrência para achar a_{2k}:
$$a_{2k}=\frac{(-1)k}{k!,(r+1)(r+2)\cdots(r+k)}\Bigl(\tfrac12\Bigr){2k}.
$$
Assim as soluções de Frobenius são as que foram dadas no enunciado.
Assim as soluções de Frobenius são as que foram dadas no enunciado.
Passo 6
Concluímos então que as duas soluções linearmente independentes em torno de x=0 são exatamente os séries apresentadas: