A equação
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-19) y=0
possui um ponto singular regular em x=0.
(b) Mostre que existem duas soluções em série em torno de x=0 (linearmente independentes) dadas por
y1(x) & =x^1 / 3[1-11!(1+13)(x2)^2+12!(1+13)(2+13)(x2)^4+ldots & ldots+(-1)^nn!(1+13)(2+13) ldots(n+13)(x2)^2 n+ldots ] y2(x) & =x^-1 / 3[1-11!(1-13)(x2)^2+12!(1-13)(2-13)(x2)^4+ldots & ldots+(-1)^nn!(1-13)(2-13) ldots(n-13)(x2)^2 n+ldots ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de Bessel de ordem ν=1/3, dada por
x^2y''+xy'+l(x^2-tfrac19r)y=0
possui duas soluções em série em torno de x=0 do tipo Frobenius, com expoentes r=±1/3.

Passo 2

Supondo uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyanx^n+r,
substituímos em y, y’ e y’’ na equação e coletamos potências de x^{n+r}.

Passo 3

Do termo de menor potência x^{r} extraímos a equação indicial:
r(r-1)+r-tfrac19=0
o que leva a
r^2=tfrac19, r=pmtfrac13

Passo 4

Para os coeficientes a_n obtemos a relação de recorrência (para n≥2):
an=-an-2n(n+2r)
Isso mostra que, se escolhermos a_{1}=0, só aparecem termos de ordem par: a_{2k+1}=0.

Passo 5

Para cada valor de r definimos a_{0}=1 e usamos a recorrência para achar a_{2k}:
$$a_{2k}=\frac{(-1)k}{k!,(r+1)(r+2)\cdots(r+k)}\Bigl(\tfrac12\Bigr){2k}.
$$
Assim as soluções de Frobenius são as que foram dadas no enunciado.

Passo 6

Concluímos então que as duas soluções linearmente independentes em torno de x=0 são exatamente os séries apresentadas:

Resposta

y1(x)=x^1/3gl[1-11!l(1+tfrac13r)l(tfracx2r)^2+12!l(1+tfrac13r)l(2+tfrac13r)l(tfracx2r)^4+cdots+(-1)^nn!,(1+tfrac13)(2+tfrac13)cdots(n+tfrac13)l(tfracx2r)^2n+cdotsgr]
y2(x)=x^-1/3gl[1-11!l(1-tfrac13r)l(tfracx2r)^2+12!l(1-tfrac13r)l(2-tfrac13r)l(tfracx2r)^4+cdots+(-1)^nn!,(1-tfrac13)(2-tfrac13)cdots(n-tfrac13)l(tfracx2r)^2n+cdotsgr]

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